Formule Kubo

Kubův vzorec je rovnice, která vyjadřuje lineární odezvu pozorované veličiny jako funkci nestacionární perturbace . Pojmenováno po Ryogo Kubo , který poprvé představil vzorec v roce 1957 [1] [2] .

Pomocí Kubo vzorce lze vypočítat nábojovou a spinovou citlivost elektronových systémů jako odezvu na aplikovaná elektrická a magnetická pole. Je také možné vypočítat odezvu na vnější mechanické síly a vibrace.

Kubův obecný vzorec

Uvažujme kvantový systém popsaný (časově nezávislým) Hamiltoniánem . Průměrnou hodnotu fyzikální veličiny popsané operátorem lze odhadnout jako: $H_{0}$ ${\klobouk {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \over Z_{0}}\součet _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

kde je funkce oddílu . Předpokládejme nyní, že v okamžiku začne na systém působit vnější porucha. Tato porucha je popsána další časovou závislostí hamiltoniánu: kde je Heavisideova funkce , která se rovná 1 pro kladné časy a 0 v opačném případě a je hermitovská a je definována pro všechna t , takže pro kladné má celou množinu skutečné vlastní hodnoty , ale tyto hodnoty vlastních hodnot se mohou v průběhu času měnit. $Z_{0}=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ $\theta (t)$ ${\hat {V}}(t)$ $t-t_{0}$ ${\hat H} (t)$ $E_{n}(t)\,,$

Nyní však opět můžeme najít časový vývoj matice hustoty z pravé strany výrazu pro rozdělovací funkci a odhadnout matematické očekávání jako ${\hat {\rho }}(t)$ $Z(t)=\název operátora {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\jméno operátora {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\jméno operátora {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Časová závislost stavů je zcela určena Schrödingerovou rovnicí, která odpovídá Schrödingerově obrázku . Ale protože je to považováno za malou poruchu, je vhodné použít reprezentaci obrazu interakce v nejnižším netriviálním pořadí. Časová závislost v této reprezentaci je dána tím, kde podle definice pro všechny t a , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\hat {V}}(t)$ $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ klobouk {H}}_{0}t}{\klobouk {U}}(t,t_{0})|{\klobouk {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

V lineárním pořadí v , dostaneme . Průměr až lineárního řádu s ohledem na poruchu je tedy roven ${\hat {V}}(t)$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\hat {A}}(t)$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\součet _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\klobouček {V}}(t')-{\klobouček {V}}(t'){\klobouček {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\klobouček {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Úhlové závorky znamenají rovnovážný průměr nad nerušeným Hamiltoniánem .Proto pro poruchovou teorii prvního řádu průměr zahrnuje pouze vlastní funkce nultého řádu, k čemuž obvykle dochází v poruchové teorii. Tím se odstraní všechny složitosti , které by jinak mohly vzniknout u bodů v čase . ${\displaystyle \langle \rangle _{0))$ $H_{0}.$ $t>t_{0}$

Výše uvedený výraz platí pro všechny operátory. (viz také Druhá kvantizace ) [3] .

Poznámky

↑ Kubo, Ryogo (1957). „Statisticko-mechanická teorie nevratných procesů. I. Obecná teorie a jednoduché aplikace na magnetické a vodivé problémy“. J Phys. soc. Jpn _ 12 :570-586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). „Statisticko-mechanická teorie nevratných procesů. II. Reakce na tepelnou poruchu." J Phys. soc. Jpn _ 12 : 1203–1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. mnoho částicové fyziky. - New York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .