Walshova funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. srpna 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Walshovy funkce jsou rodinou funkcí, které tvoří ortogonální systém a nabývají hodnot pouze +1 a -1 v celé oblasti definice.

V zásadě mohou být Walshovy funkce reprezentovány ve spojité formě, ale častěji jsou definovány jako diskrétní posloupnosti prvků. Skupina Walshových funkcí tvoří Hadamardovu matici . $2^{n}$ $2^{n}$

Walshovy funkce se rozšířily v rádiové komunikaci, kde se používají k implementaci kanálů s kódovým dělením ( CDMA ), například v celulárních standardech, jako je IS-95, CDMA2000 nebo UMTS .

Systém Walshových funkcí je ortonormální základ a v důsledku toho umožňuje rozložit signály libovolného tvaru vlny do zobecněné Fourierovy řady .

Zobecněním Walshových funkcí na případ více než dvou hodnot jsou Vilenkin-Chrestensonovy funkce .

Označení

Nechť je Walshova funkce definována na intervalu [0, T ]; mimo tento interval se funkce periodicky opakuje. Představme si bezrozměrný čas . Potom Walshova funkce očíslovaná k je označena jako . Číslování funkcí závisí na způsobu řazení funkcí. Existuje Walshovo uspořádání - v tomto případě jsou funkce označeny tak, jak je popsáno výše. Paley ( ) a Hadamard ( ) uspořádání jsou také obyčejná . $\theta =t/T$ $\operatorname {wal} (k,\theta )$ $\operatorname {pal} (p,\theta )$ $\operatorname {had} (h,\theta )$

Pokud jde o moment , lze Walshovy funkce rozdělit na sudé a liché. Jsou označeny jako resp . Tyto funkce jsou podobné goniometrickým sinusům a kosinusům. Vztah mezi těmito funkcemi je vyjádřen takto: $\theta=0$ $\operatorname {cal} (k,\theta )$ $\operatorname {sal} (k,\theta )$

\operatorname {cal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k,\theta ),

\operatorname {sal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (2k-1,\theta ).

Formace

Existuje několik způsobů formování. Zvažte jednu z nich, nejnázornější: Hadamardovu matici lze vytvořit rekurzivní metodou konstrukcí blokových matic podle následujícího obecného vzorce:

H_{2^{n}}={\begin{bmatrix}H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\H_{2^{n-1}} &-H_{2^{n-1}}\end{bmatrix}}.

Takto lze vytvořit Hadamardovu matici délky : $2^{n}$

H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix)),

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix)),

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix)),

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&\-1&-1 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}},

Každý řádek Hadamardovy matice je Walshova funkce.

V tomto případě jsou funkce seřazeny podle Hadamarda. Číslo Walshovy funkce se vypočítá z čísla Hadamardovy funkce přeskupením bitů v binárním zápisu čísla v opačném pořadí a následným převedením výsledku z Grayova kódu .

Příklad

Walshovo číslo	binární forma	Převod z Grayova kódu	Bitová výměna	Číslo podle Hadamarda
0	000	000	000	0
jeden	001	001	100	čtyři
2	010	011	110	6
3	011	010	010	2
čtyři	100	110	011	3
5	101	111	111	7
6	110	101	101	5
7	111	100	001	jeden

Výsledkem je Walshova matice, ve které jsou funkce seřazeny podle Walshe:

W_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1\\-1&-1 1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.

Vlastnosti

1. Ortogonalita

Bodový součin dvou různých Walshových funkcí je nula:

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )\,d\theta =0\qquad {\ text{s }}k\neq n.

Příklad

Předpokládejme, že n = 1, k = 3 (viz výše). Pak

\int \limits _{0}^{1}\operatorname {wal} (1,\theta )\cdot \operatorname {wal} (3,\theta )\,d\theta =

=\int \limits _{0}^{1/4}1^{2}\,d\theta +\int \limits _{1/4}^{1/2}1\cdot (- 1)\,d\theta +\int \limits _{1/2}^{3/4}(-1)\cdot 1\,d\theta +\int \limits _{3/4}^{1 }(-1)^{2}\,d\theta =0.

2. Multiplikativita

Součin dvou Walshových funkcí dává Walshovu funkci:

\operatorname {wal} (n,\theta )\cdot \operatorname {wal} (k,\theta )=\operatorname {wal} (i,\theta ),

kde je bitové sčítání modulo 2 čísel ve dvojkové soustavě. $i=n\oplus k$

Příklad

Předpokládejme, že n = 1, k = 3. Potom

n\oplus k=01_{2}\oplus 11_{2}=10_{2}=2.

V důsledku násobení dostaneme:

{\begin{array}{|c|c|c|c||c|}&&&&n\\\hline 1&1&-1&-1&\operatorname {wal} (1,\theta )\\1&-1&1&- 1&\jméno operátora {wal} (3,\theta )\\\hline 1&-1&-1&1&\jméno operátora {wal} (2,\theta )\\\end{array}}

Walsh-Hadamardova transformace

Jde o speciální případ zobecněné Fourierovy transformace , ve které jako základ funguje systém Walshových funkcí.

Zobecněná Fourierova řada je reprezentována vzorcem

S(t)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}\cdot u_{i}(t),

kde je jedna ze základních funkcí a je koeficient. $u_{i}$ $c_{i}$

Expanze signálu ve Walshových funkcích má tvar

S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,t/T).

V diskrétní formě je vzorec napsán takto:

S(n)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\cdot \operatorname {wal} (k,n).

Koeficienty lze určit provedením skalárního součinu rozloženého signálu odpovídající základní Walshovou funkcí: $c_{i}$

c_{k}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}S(t)\cdot \operatorname {wal} (k,t/T)\, dt.

Je třeba vzít v úvahu periodický charakter Walshových funkcí.

Existuje také rychlá Walshova transformace [1] . Je mnohem efektivnější než Walsh-Hadamardova transformace [2] . Navíc pro speciální případ se dvěma proměnnými jsou Walshovy funkce zobecněny jako plochy [3] . Existuje také osm bází ortogonálních binárních funkcí podobných Walshovým funkcím [4] , které se liší nepravidelnou strukturou, které jsou také zobecněny na případ funkcí dvou proměnných. Pro každou z osmi bází byla prokázána reprezentace „krokových“ funkcí ve formě konečného součtu binárních funkcí, vážených příslušnými koeficienty [5] .

Literatura

Baskakov S. I. Radiotechnické obvody a signály. - M . : Vyšší škola, 2005. - ISBN 5-06-003843-2 .
Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walshovy řady a transformace: teorie a aplikace. — M .: Nauka, 1987.
Zalmanzon L. A. Fourierovy, Walshovy, Haarovy transformace a jejich aplikace v řízení, komunikaci a dalších oblastech. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014094-5 .

Viz také

Poznámky

↑ RYCHLÁ TRANSFORMACE WALSH. V. N. Malozyomov Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine .
↑ Fast Walsh Transform Archived 27. března 2014 na Wayback Machine .
↑ Romanuke VV K BODU GENERALIZACE FUNKCÍ WALSH NA POVRCHY Archivováno 16. dubna 2016 na Wayback Machine .
↑ Romanuke VV GENERALIZACE OSMI ZNÁMÝCH ORTONORMÁLNÍCH ZÁKLADŮ BINÁRNÍCH FUNKCÍ NA PLOCHY Archivováno 5. října 2016 na Wayback Machine .
↑ Romanuke VV ROVNOMĚRNĚ DISKRÉTNĚ O FUNKCÍCH OSY ARGUMENTU A JEJICH ZASTOUPENÍ V ŘADĚ ORTONORMÁLNÍCH ZÁKLADŮ Archivováno 10. dubna 2016 na Wayback Machine .