Jacobsthalova čísla

Jacobsthalova čísla jsou celočíselná posloupnost pojmenovaná po německém matematikovi E. E. Jacobsthalovi .

Jacobsthalova čísla

Stejně jako Fibonacciho čísla jsou Jacobstalova čísla jednou z Lucasových sekvencí

U_{n}(P,Q),

pro které P = 1 a Q = −2 [1] . Sekvence začíná čísly [1] [2]

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923

Jacobstalova čísla jsou definována rekurzivní relací [1] [2]

J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\ \end{cases}}

Další možnosti opakovaného sekvenování [2] :

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n))$
${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n))$

Jacobstalovo číslo s daným číslem lze vypočítat pomocí vzorce [1] [2]

J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.

Jacobsthal-Luc čísla

Jacobsthal-Luc čísla jsou Lucasova posloupnost . Splňují stejné rekurentní vztahy jako Jacobstalova čísla, ale liší se v počátečních hodnotách [1] : $V_{n}(1,-2)$

j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\ \end{cases}}

Alternativní vzorec [3] :

j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.

Jacobsthal-Luc číslo s daným číslem lze vypočítat pomocí vzorce [3]

j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.

Jacobsthal-Luc sekvence začíná čísly [1] [3]

2, 1, 5 , 7 , 17 , 31 , 65, 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 427651, 52, 45, 42651 …

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Jacobsthal Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 3 4 OEIS sekvence A001045 = Jacobsthalova sekvence
↑ 1 2 3 OEIS sekvence A014551 = Jacobsthal - Lucasova čísla

Literatura

A. F. Horadam . Jacobsthal reprezentační čísla (anglicky) (květen 1994).
Paul Barry . Triangle Geometry a Jacobsthalova čísla (anglicky) , irská matematika. soc. Bulletin (duben 2003).
Zvonko Čerín . Sumy čtverců a součin Jacobsthalových čísel (anglicky) , Journal of Integer Sequences.

Odkazy

OEIS sekvence A049883 : Jacobsthalova prvočísla