Autoregresivní podmíněná heteroskedasticita

Autoregresivní podmíněná heteroskedasticita ( ARCH - AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) je model používaný v ekonometrii pro analýzu časových řad (především finančních), ve kterých podmíněný (podle minulých hodnot řady) rozptyl řady závisí na minulých hodnotách. řady, minulé hodnoty těchto rozptylů a další faktory. Tyto modely mají „vysvětlit“ shlukování volatility na finančních trzích, kdy po určitou dobu trvají období vysoké volatility, následují období nízké volatility a průměrnou (dlouhodobou, nepodmíněnou) volatilitu lze považovat za relativně stabilní.

Modely ARCH poprvé navrhl Robert Engle v roce 1982. Již v roce 1986 navrhl Bollerslev zobecnění těchto modelů (GARCH). V budoucnu různí autoři navrhovali další verze modelů tohoto typu s ohledem na určité vlastnosti.

Základní modely

ARCH

Nechť časovou řadu je následující proces $u_{t}$

$u_{t}=\varepsilon _{t}{\sqrt {\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{ 2}}}$

kde je bílý šum . $\varepsilon _{t}$

Pak se bude jak podmíněné, tak nepodmíněné očekávání tohoto procesu rovnat nule. Podmíněný rozptyl tohoto procesu se bude rovnat

$\sigma _{t}^{2}=V(u_{t}|u_{t-1},...,u_{tq})=\alpha _{0}+\součet _{i =1}^{q}\alpha _{i}u_{ti}^{2}$

Takový model podmíněného rozptylu se nazývá model ARCH(q). Aby se zabránilo záporným hodnotám rozptylu, předpokládá se, že všechny koeficienty modelu jsou nezáporné a konstanta je přísně kladná. Pokud je tento proces stacionární, pak je nepodmíněný rozptyl konstantní a stejný, samozřejmě,

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}}}$

Nezbytnou podmínkou stacionarity je, že součet modelových koeficientů (bez konstanty) je striktně menší než jedna. Pokud je součet koeficientů roven jedné, máme integrovaný ARCH (nestacionární).

Procesy ARCH se vyznačují pozitivní špičatostí („fat tails“). Například pro proces ARCH(1) je posun od špičatosti normálního rozdělení , if $6\alpha _{1}^{2}/(1-3\alpha _{1}^{2})$ $\alpha _{1}<1/{\sqrt {3}}$

Odhad parametrů modelu ARCH(q) lze provést pomocí obvyklé metody nejmenších čtverců .

GARCH

Model ARCH předpokládá, že podmíněný rozptyl závisí pouze na čtvercích minulých hodnot časové řady. Tento model lze zobecnit za předpokladu, že podmíněný rozptyl závisí také na minulých hodnotách samotného podmíněného rozptylu. Jedná se o tzv. generalizovaný ARCH (Generalized ARCH - GARCH). V tomto případě je model GARCH(p, q) (kde p je pořadí členů GARCH a q je pořadí členů ARCH ) popsán následovně: $\sigma ^{2}$ $u^{2}$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{2}+\ součet _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Nutná podmínka pro stacionárnost . Nepodmíněný rozptyl stacionárního GARCH(p, q) procesu bude konstantní a rovný $\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i}}+\součet _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}<1$

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{{\varepsilon }}^{2}}{1-\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i} }-\součet _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}}}$

Pokud je součet koeficientů roven jedné, pak máme integrovaný GARCH - IGARCH , jehož nepodmíněný rozptyl je nekonečný .

GARCH-M

GARCH-in-Mean (GARCH-M) navrhl Angle et al. v roce 1987. V tomto případě nehovoříme o speciálním modelu pro podmíněný rozptyl. Hovoříme o využití podmíněného rozptylu jako jednoho z faktorů regresního modelu pro rizikovou prémii. Pokud označíme nadměrné výnosy , pak model GARCH-M znamená, že [1] $y_{t}$

${\displaystyle y_{t}=a+f(\sigma _{t}^{2})-E[f(\sigma _{t+1}^{2})]+u_{t))$

kde náhodná chyba modelu je GARCHův proces podmíněného rozptylu a f je nějaká funkce. $\sigma _{t}^{2}$

Engle použil funkci , nicméně teoreticky jsou možné jakékoli možnosti, zejména jednoduše nebo . Všechny tři možnosti (disperze, skóre a logaritmus rozptylu) jsou poskytovány v ekonometrickém programu Eviews (například ve verzi 10). $f(\sigma _{t}^{2})=b{\sqrt {\sigma _{t}^{2))}=b\sigma _{t}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\sigma _{t}^{2}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\ln {\sigma _{t}^{2))$

Asymetrické modely GARCH

Tyto úpravy podkladových modelů jsou určeny k zohlednění asymetrie, která se někdy pozoruje na finančních trzích: špatné zprávy (negativní šoky) mají obvykle větší dopad na volatilitu než dobré zprávy (pozitivní šoky), to znamená, že volatilita je vyšší při poklesu. než na rostoucím trhu. Tento efekt se někdy nazývá pákový efekt (leverage), což je spojeno s jedním z vysvětlení tohoto jevu, že ceny akcií klesají, zvyšuje se finanční páka společností, a tím i míra rizika (což odpovídá větší volatilitě). V rámci klasických GARCH modelů nelze tento efekt vysvětlit, protože podmíněný rozptyl závisí na čtvercích minulých hodnot řady a nezávisí na znaménkách.

EGARCH

Model EGARCH navrhl Nelson v roce 1991. V tomto modelu se kromě zohlednění asymetrie řeší i problém pozitivní definitivnosti modelu, protože místo podmíněných rozptylů jsou v modelu zahrnuty jejich logaritmy:

$\ln \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}g(z_{ti})+\ součet _{j=1}^{p}\beta _{j}\ln \sigma _{tj}^{2}~,~~~g(z_{t})=\delta _{1}z_{ t}+\delta _{2}(|z_{t}|-{\sqrt {2/\pi }})~,~~~z_{t}\sim iid(0,1)$

AGARCH

Asymetrický model GARCH (AGARCH) navrhl Angle v roce 1990.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(u_{{ti}}-\gamma )^ {2}+\součet _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Nelineární model AGARCH(1,1) (NAGARCH) navrhl Engle a Ng v roce 1993.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}(u_{{t-1}}/\sigma _{{t-1}}-\gamma )^{ 2}+\beta \sigma _{{t-1}}^{2}$

TGARCH a GJR-GARCH

Prahové modely GARCH (Threshold GARCH, TGARCH) byly navrženy Zakoyanem v roce 1991 a nezávisle Glostenem, Jagannathanem a Runklem v roce 1993 (poslední model je označován jmény autorů GJR-GARCH). Jediný rozdíl mezi těmito dvěma modely je ten, že Zakoyanův model používá podmíněné směrodatné odchylky, zatímco model GJR používá podmíněný rozptyl. Tyto modely mohou být reprezentovány následovně:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}u_{{ti}}^{ {\delta }}+\gamma _{i}I_{{ti}}^{-}u_{{ti}}^({\delta }})+\sum _{{j=1}}^{p }\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{{\delta }}~,~~I_{t}^{-}={\begin{cases}1,~u_{t}<0 \\0,~u_{t}\geqslant 0\end{cases}}$

kde pro model Zakoyan a pro model GJR - . Ve skutečnosti modely zavádějí různé koeficienty pro záporné a kladné minulé hodnoty řady, takže někdy je model TGARCH také prezentován v následující podobě: $\delta=1$ $\delta=2$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}^{+}u_{{ti}}^{+}+ \alpha _{i}^{-}u_{{ti}}^{-})+\součet _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}$

kde . $u^{+}=\max(0,u)~,~u^{-}=\max(0,-u)$

QGARCH

Kvadratický GARCH (QGARCH) navržený Sentanou v roce 1995

$\sigma _{t}^{2}=\sigma ^{2}+a^{T}x_{tq}+x_{tq}^{T}Ax_{tq}+\sum _{j= 1}^{p}\beta _{j}\sigma _{tj}^{2}~,~~x_{tq}=(u_{t-1}...,u_{tq})^{T }$

kde A je symetrická kladně definitní matice, a je kladný vektor.

Tento model zohledňuje kromě pákového efektu i možnou interakci vlivu zpoždění vlivem mimodiagonálních prvků matice A . Pokud je matice A diagonální a vektor a je roven nule, pak dostaneme standardní GARCHovy modely. Pokud je pro diagonální matici A vektor a nenulový, pak máme asymetrického GARCH. Jestliže , kde c je nějaký vektor, a koeficienty , pak dostaneme lineární model směrodatné odchylky $A=cc^{T},~a=2\sigma c$ $\beta _{j}=0$ $\sigma _{t}=|\sigma +c^{T}x_{{tq}}|$

Zobecňující modely

APGRACH

Model Asymmetric Power GARCH (APGARCH) byl navržen Dingem a dalšími v roce 1993 a je zobecněním mnoha dalších modelů:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(|u_{{ti}}| -\gamma _{i}u_{{ti)))^{{\delta }}+\součet _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{ {\delta }}~,~\delta >0,~-1<\gamma _{i}<1$

Pokud je parametr výkonu , a faktor asymetrie je , pak dostaneme obvyklé modely GARCH. Jestliže (faktor šikmosti je také nula), pak dostaneme GARCHův model pro podmíněnou směrodatnou odchylku Taylora (1986) a Schwerta (1989): $\delta=2$ $\gamma _{i}=0$ $\delta=1$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|+\součet _{{j= 1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}$

Pokud faktor asymetrie není roven nule, pak dostaneme model TGARCH. Pokud i faktor asymetrie nabývá nezáporných hodnot, pak dostaneme GJR-GARCH. $\delta=2$

V obecném případě, jestliže , pak dostaneme nelineární GARCH (NGARCH) podle Higginse a Behra, navržený v roce 1992 $\gamma _{i}=0$

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\součet _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|^ {{\delta }}+\součet _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^({\delta }}~,~~,\delta >0$

Hentschelův model (fGARCH)

Tento model navrhl Hentschel v roce 1995. Využívá známou Box-Cox transformaci, která umožňuje zohlednit širokou škálu modelů. Model s jedním zpožděním má tvar:

${\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}=\alpha _{0}+\alpha \sigma _{{t-1}}^({\lambda }}f^ {{\nu }}(z_{{t-1}})+\beta {\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}~,~~f(z_{{t -1}})=|z_{{t}}-b|-c(z_{{t}}-b)$

Jestliže ab=0, pak dostaneme APGRCH(1,1), a tedy všechny soukromé modely, které poslední model bere v úvahu. Tento model na rozdíl od APGARCH také umožňuje získat EGARCH — v limitě at je Box-Coxova transformace rovna logaritmické funkci, a pokud , pak dostaneme EGARCH(1,1). $\lambda=\nu$ $\lambda \rightarrow 0$ $\nu=1$

Použité rozvody

GARCH modely používají různá rozdělení, aby lépe odpovídaly empirickým rysům finančních řad. I použití normálního rozdělení vysvětluje do značné míry „tučné ocasy“ v rozdělení výnosů. To však nestačí. Často je užitečné použít Studentovo rozdělení s malým počtem stupňů volnosti, které samo o sobě má tlustší konce než normální rozdělení. Takové modely jsou někdy označovány jako GARCH-t. Aby se zohlednila asymetrie, používá se také speciální skew Studentovo rozdělení (Hansenovo t-rozdělení). Takové modely jsou někdy označovány jako GARCH-HT

GED distribuce.

Regresní modely s chybou GARCH

Regresní modely, ve kterých náhodná chyba splňuje nějaký proces autoregresní podmíněné heteroskedasticity, lze odhadnout pomocí běžné metody nejmenších čtverců , která v tomto případě také poskytne nejlepší lineární nezkreslené odhady, protože nepodmíněný rozptyl náhodné chyby je konstantní a neexistuje žádná autokorelace. náhodných chyb. Je však možné získat účinnější nelineární odhady založené na metodě maximální věrohodnosti . Například lze ukázat, že použití metody maximální věrohodnosti na model s chybou ARCH(1) je ekvivalentní minimalizaci následující funkce:

$\sum _{{t=1}}^{n}\ln(a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2})+\součet _{{t=1}} ^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2}}}$

e -rezidua regresního modelu

Zohlednění dodatečných informací o procesu GARCH v náhodných chybách umožňuje získat potenciálně přesnější odhady parametrů modelu.

Ještě větší efekt však nastává v případě intervalových krátkodobých předpovědí pomocí regresních modelů. V tomto případě vám GARCH model umožňuje přesněji odhadnout rozptyl podmíněný minulými informacemi a vytvořit přesnější intervalovou předpověď.

V tomto ohledu je důležité otestovat proces ARCH v modelových chybách.

ARCH testování

Test používá regresní rezidua nejmenších čtverců. K tomu se zkonstruuje pomocná regrese druhých mocnin zbytků na druhé mocniny minulých zbytků. Potom se pomocí F-testu nebo LM-testu zkontroluje významnost této pomocné regrese. Pokud je rozpoznán jako významný, pak je efekt ARCH významný. V opačném případě to lze považovat za bezvýznamné.

Poznámky

↑ Eduardo Rossi Jednorozměrné modely GARCH: přehled // Quantile. č. 8, s. 1–67.