Adiabatický invariant

Adiabatický invariant je fyzikální veličina , která se nemění s plynulou změnou některých parametrů fyzikálního systému tak, že charakteristická doba této změny je mnohem delší než charakteristická doba procesů probíhajících v samotném systému [1] .

Původ termínu

Adiabatický proces původně znamenal proces bez výměny tepla s okolím. Název vznikl z výrazu „adiabatická skořápka“ ( jiné řecké ἀδιάβατος – „neproniknutelný“) – skořápka, která nepropouští teplo.

Ale v polovině 20. století to někteří vědci (zejména L. D. Landau ) začali nazývat procesem, který prochází prakticky rovnovážnými stavy, tedy spíše pomalu a plynule. Nyní se takový proces nazývá kvazistatický nebo rovnovážný. Historicky se název „adiabatický invariant“ objevil analogicky s takovým termodynamickým procesem.

V současnosti se slovo „adiabatický“ opět používá v původním významu („proces bez výměny tepla s médiem“), ale již se ustálil pojem „adiabatický invariant“.

Klasická mechanika

V klasickém mechanickém systému, který vykonává periodický pohyb s periodou a závisí na parametru , je adiabaticita změny parametru určena podmínkou $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda

Hamiltonova funkce systému závisí na jeho vnitřních proměnných a parametru

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Vnitřní proměnné a rychle se mění s časem, s periodou . Ale energie systému je integrálem pohybu s konstantním parametrem . Když se parametr časem změní $q$ $p$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda )){\frac {d\lambda }{dt))

Když je tento výraz zprůměrován v čase za určité období, můžeme předpokládat, že se parametr nezměnil. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda }{dt)){\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda }}}

kde je průměrování definováno jako

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

Je vhodné přepnout z integrace v průběhu času na integraci přes proměnnou : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

V tomto případě je období $T$

T=\oint {\frac {dq}{\částečné {\mathcal {H))/\částečné p))

kde se integrace provádí dopředu a dozadu v rámci změny souřadnic během období pohybu.

Zápis hybnosti jako funkce energie , souřadnice a parametru, po některých transformacích lze získat $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)){\overline {\frac {\partial E}{\partial t))}+{\frac {\partial p}{ \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

Konečně můžete psát

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

kde je hodnota

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

a bude adiabatickým invariantem.

Integrál obsažený ve výsledném výrazu nabývá jednoduchého geometrického významu, přejdeme-li k pojmu fázový prostor a fázové trajektorie systému v něm. V uvažovaném případě má systém jeden stupeň volnosti , takže fázový prostor je fázová rovina tvořená množinou bodů se souřadnicemi a . Protože systém vykonává periodický pohyb, jeho fázová trajektorie [2] je uzavřenou křivkou v této rovině, respektive integrál je brán podél této uzavřené křivky. Z toho vyplývá, že integrál se rovná ploše obrázku ohraničené fázovou trajektorií systému. $p$ $q$ $\oint p\,dq$

Plochu lze také vyjádřit jako dvourozměrný integrál, pak pro adiabatický invariant,

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Příklad. Harmonický oscilátor

Vezměme si jako příklad jednorozměrný harmonický oscilátor . Hamiltonova funkce takového oscilátoru má tvar

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

kde je vlastní (cyklická) frekvence oscilátoru. Rovnice fázové trajektorie je v tomto případě určena zákonem zachování energie a má tedy tvar $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Z rovnice je vidět, že trajektorií je elipsa s poloosami a její plocha, dělená , je tedy rovna . Veličina je tedy adiabatickým invariantem pro harmonický oscilátor. Z toho vyplývá, že v případech, kdy se parametry oscilátoru mění pomalu, mění se jeho energie úměrně frekvenci. ${\sqrt {2mE))$ ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2))))$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Vlastnosti adiabatického invariantu

Energetická derivace adiabatického invariantu se rovná periodě dělené . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E))=T

nebo

{\frac {\partial E}{\partial I))=\omega

kde je cyklická frekvence. $\omega$

Pomocí kanonických transformací lze vytvořit adiabatický invariant nové proměnné, která se nazývá akční proměnná. V novém systému proměnných hraje roli hybnosti . Proměnná s ní konjugovaná kanonicky se nazývá úhlová proměnná .

Poznámky

↑ Dykhne A. M. Adiabatické invarianty // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie , 1988. - T. 1. Aharonov-Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 26. - 704 s. — 100 000 výtisků.
↑ Fázová trajektorie - sada bodů se souřadnicemi rovnými hodnotám, které nabývají hodnot a v procesu pohybu systému. $p$ $q$

Literatura

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanika. - 4. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 str. — („Teoretická fyzika“, svazek I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA Přednášky o fyzice plazmatu. 1. díl: Základy fyziky plazmatu. - 3. vyd. - Petrohrad. : Lan , 2021. - 400 s. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .