Axiom nekonečna

Axiom nekonečna je následující výrok z teorie množin :

\exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\v a\to b\cup \{b\}\in a)\ )

, kde

b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}

Axiom nekonečna implikuje existenci [alespoň jedné] nekonečné množiny .

Jiné formulace axiomu nekonečna

$\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing } ))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftright d \in b\ \lor \d=b))))$

$\exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing } ))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\existuje d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftright d\in b\ \lor \ d=b)\ do c\in a_{\infty })))$

Poznámky

0. Induktivní výroky

Příklady

$\exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \{b\}\in a))$ , kde je množina, jejíž jediným prvkem je . ${\displaystyle \{b\))$ $b$

$\exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to {\mathcal {P))(b)\in a))$ , kde je Boolean množiny ${\mathcal {P}}(b)$ $b$

1. O odvoditelnosti axiomu nekonečna z jiných tvrzení

2. O jedinečnosti "nekonečné množiny"

3. Jiné

Viz také

Axiomatika teorie množin

Matematická indukce

Transfinitní indukce

Celá čísla

Axiom nekonečna

Jiné formulace axiomu nekonečna

Poznámky

Viz také

Literatura