Párový axiom

Axiom [existence neuspořádaného] páru je následující tvrzení z teorie množin :

\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\forall b\ (b\v c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

Konkrétně: "Z libovolných dvou [stejných nebo různých] množin lze vytvořit [alespoň jednu]" neuspořádanou dvojici ", tedy takovou množinu , jejíž každý prvek je shodný s danou množinou nebo danou množinou ." $C$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Další formulace párového axiomu

$\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b \neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Poznámky

1. Párový axiom lze odvodit z transformačního schématu

$\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$ , pokud dáme a zvolíme funkci takovou, že . $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ $\mathrm {f}$ $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$

2. Podle axiomu objemu lze dokázat jedinečnost [neuspořádaného] páru. Jinými slovy, lze dokázat, že párový axiom je ekvivalentní tvrzení

\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})

, co je

\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2} )\ \leftrightarrow c=c')

Poslední tvrzení nám umožňuje konstatovat následující: „Z libovolných dvou [stejných nebo různých] množin lze vytvořit pouze jednu „neuspořádanou dvojici“, tedy takovou množinu , jejíž každý prvek je shodný s danou množinou, resp . danou sadu . $C$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

3. Z axiomu páru lze odvodit větu o existenci jednoprvkové množiny:

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)

Viz také

Axiomatika teorie množin