Axiomy oddělitelnosti

Axiómy oddělitelnosti jsou soubory dalších požadavků kladených na topologické prostory , umožňující studium omezených tříd topologických prostorů s vlastnostmi více či méně blízkými metrickým prostorům . Aplikace takové techniky matematického důkazu jako principu separability je založena na předpokladu naplnění axiomů separability .

Je zavedena sada axiomů oddělitelnosti, nejpoužívanějších je šest, označovaných příslušně T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 (z němčiny Trennungsaxiom ); kromě toho se někdy používají jiné axiomy a jejich variace (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 a další).

T 0 ( Kolmogorovův axiom ): pro libovolné dva odlišné body a alespoň jeden bod musí mít okolí , které neobsahuje druhý bod. $X$ $y$

T 1 ( Tikhonovův axiom ): pro jakékoli dva různé body a musí existovat okolí bodu , který neobsahuje bod, a okolí bodu , které bod neobsahuje . Ekvivalentní stav: všechny jednobodové sady jsou uzavřeny. $X$ $y$ $X$ $y$ $y$ $X$

T 2 ( Hausdorffův axiom , Hausdorffův prostor ): pro jakékoli dva odlišné body a musí existovat neprotínající se sousedství a . $X$ $y$ $U(x)$ $V(y)$

T 3 : Pro libovolnou uzavřenou množinu a bod, který v ní není obsažen, existují jejich neprotínající se okolí [1] [2] . Ekvivalentní podmínka: pro jakýkoli bod a jeho okolí existuje takové okolí , že . Někdy definice axiomu oddělitelnosti T3 zahrnuje požadavky axiomu oddělitelnosti T1 . [3] [4] Také někdy není požadavek axiomu T 1 [2] [4] zahrnut do definice regulárního prostoru . Regulární prostor je prostor, který splňuje axiomy T 1 a T 3 . $X$ $U$ $PROTI$ $x\in V\subset\bar{V}\subset U$

T 3½ : pro jakoukoli uzavřenou množinu a bod v ní neobsažený existuje spojitá (v dané topologii) numerická funkce daná na tomto prostoru, nabývající hodnot od do v celém prostoru a pro všechny patřící do . Prostory splňující axiomy T 1 a T 31 se nazývají zcela pravidelné prostory nebo Tichonovovy prostory; navíc někdy je splnění T 1 zahrnuto do definice T 31 [5] , ale do definice zcela pravidelného prostoru nezahrnuje požadavek axiomu T 1 (pak je zahrnuto v definici a Tichonovův prostor [2] . $F$ $A$ $f(x)$ $0$ $jeden$ $f(a)=0$ $f(x)=1$ $X$ $F$

T 4 : pro jakékoli dvě uzavřené disjunktní množiny existují jejich disjunktní okolí [1] [2] . Ekvivalentní podmínka: pro jakoukoli uzavřenou množinu a její okolí existuje okolí takové, že ( je uzavřením ). Normální prostor — prostory splňující T 1 a T 4 [2] [6] . Někdy definice T 4 zahrnuje požadavek, aby byla splněna T 1 [7] [8] , ale definice normálního prostoru nezahrnuje požadavek T 1 [8] . $F$ $U$ $PROTI$ $F\subset V\subset\bar{V}\subset U$ ${\bar {V}}$ $PROTI$

Některé vztahy axiomů oddělitelnosti a příbuzných tříd mezi sebou:

$T_{0}$ , a nevyplývají ze zbytku axiomů (pokud jejich definice nezahrnuje axiom ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
z následuje ; $T_{1}$ $T_{0}$
pravidelné prostory jsou Hausdorff;
zcela pravidelné prostory jsou pravidelné;
normální prostory jsou také zcela pravidelné;
kompaktní Hausdorffovy prostory jsou normální.

Poznámky

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, str. 105
↑ 1 2 3 4 5 matematická encyklopedie
↑ Engelking, str.71
↑ 1 2 Kelly, str. 154
↑ Engelking, str.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s.106
↑ Engelking, str.74
↑ 1 2 Kelly, str. 153

Literatura

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov a N. Yu Netsvetaev Problémová učebnice topologie
Engelking R. Obecná topologie: Per. z angličtiny. — M .: Mir, 1986. — 752 s.
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Axiom oddělitelnosti // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština) - článek z matematické encyklopedie, autor - V. I. Zaitsev