Algebra Temperley-Liba

Algebra Temperley - Lieb - algebra , s jejíž pomocí jsou konstruovány některé přenosové matice. Objevil Neville Temperleya Elliot Lieb . Algebra se uplatňuje ve statistické mechanice , v teorii integrovatelných modelů, je relevantní pro teorii uzlů a skupiny opletení , kvantové grupy a subfaktory von Neumannových algeber .

Definice

Dovolit být komutativní prsten (nejčastěji pole reálných čísel ), ve kterém je prvek pevný . Temperley-Liebova algebra se nazývá - algebra tvořená generátory, které se řídí Jonesovými vztahy : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ v $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ v $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ v $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ v , takový že $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ může být reprezentován jako vektorový prostor se základními vektory, z nichž každý je diagram ve formě čtverce, na jehož dvou protilehlých stranách jsou body. Body tvoří n dvojic, každá dvojice je spojena křivkou a žádné dvě křivky se neprotínají. Pět základních vektorů vypadá takto: $n$ $TL_{3}(\delta )$

Násobení dvou základních prvků nastává spojením dvou čtverců tupým na tupo, po každém výsledném cyklu dává součinitel δ . Například,

× = = 5 .

Jednotkovým prvkem je diagram s n vodorovnými čarami a generátor je diagram, ve kterém je i -tý vrchol spojen s i + 1 -tým, 2n - i + 1 -tým bodem - s 2n - i -tým . bod a všechny ostatní body jsou spojeny s protiklady. Generátory jsou například: $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

Zleva doprava: identický prvek (jeden) a generátory U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Jonesovy poměry lze znázornit graficky:

= 5

Odkazy

Louis H. Kauffman , Státní modely a Jonesův polynom. Archivováno 8. prosince 2019 ve Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Přesně vyřešené modely ve statistické mechanice Archivováno 20. března 2012 na Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , Vztahy mezi problémem perkolace a zbarvení a dalšími grafově teoretickými problémy spojenými s pravidelnými planárními mřížemi: některé přesné výsledky pro problém perkolace. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251-280.