Antidiagonální matice

Antidiagonální matice je matice , jejíž všechny prvky jsou rovny nule, s výjimkou těch na sekundární diagonále , tedy takové matice , pro kterou pro všechny páry splňují podmínku . $(n\krát n)$ $A$ $A_{i,j}=0$ $(i, j)$ $i+j\neq n+1$

Příklad:

{\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{bmatrix))

Všechny antidiagonální matice jsou persymetrické .

Násobením diagonální matice vznikne diagonální matice; vynásobením antidiagonální matice diagonální maticí v libovolném pořadí vznikne antidiagonální matice. Antidiagonální matice jsou invertibilní právě tehdy, když jsou všechny prvky její sekundární úhlopříčky nenulové. Inverzní matice jakékoli nedegenerované antidiagonální matice je také antidiagonální.

Modul determinantu antidiagonální matice se rovná modulu součinu prvků na sekundární diagonále:

\det A=(-1)^{\frac {(n-1)n}{2}}\prod _{i=1}^{n}A_{i,n+1-i}

Jakoukoli antidiagonální matici se vstupy na vedlejší diagonále lze získat z diagonální matice se stejnými vstupy na hlavní diagonále vynásobením jednotkovou maticí : . $A$ $\lambda _{i}$ $D$ $\lambda _{i}$ $J$ $A=JD=DJ$

Odkazy

Antidiagonální matice na PlanetMath .