Absolutní hodnota

Absolutní hodnota nebo modul čísla (v matematice ) je nezáporné číslo , které, neformálně řečeno , označuje vzdálenost mezi počátkem a . Určeno: $X$ $X$ $|x|.$

V případě reálné hodnoty je absolutní hodnotou spojitá lineární funkce po částech definovaná takto: $X$

|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases))

Zobecněním tohoto konceptu je modul , neboli absolutní hodnota [1] , komplexního čísla. Toto číslo je určeno vzorcem: $z=x+iy.$

|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Základní vlastnosti

Z geometrického hlediska je modul reálného nebo komplexního čísla vzdálenost mezi číslem a počátkem. V matematice se hojně využívá fakt, že geometricky veličina znamená vzdálenost mezi body a , a lze ji tedy použít jako míru blízkosti jedné (reálné nebo komplexní) veličiny k druhé – například při určování Cauchyho limit nebo medián [2] . $|x_{1}-x_{2}|$ $x_{1}$ $x_{2}$

Reálná čísla

rozsah : $(-\infty ;+\infty ).$
Rozsah : $[0;+\infty ).$
Funkce je sudá .
Funkce je diferencovatelná všude kromě nuly. V určitém okamžiku funkce projde zlomem . $x=0$

Komplexní čísla

Oblast definice: celá komplexní rovina .
Rozsah hodnot: $[0;+\infty ).$
Modul jako komplexní funkce není v žádném bodě diferencovatelný, protože nejsou splněny Cauchy-Riemannovy podmínky .

Algebraické vlastnosti

Pro jakákoli reálná čísla platí následující vztahy: $a,b$

$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ ( sgn je funkce znaku);
$a\leqslant |a|;$
$-|a|\leqslant a;$
druhá mocnina modulu čísla se rovná druhé mocnině tohoto čísla: $|a|^{2}=a^{2}.$

Pro reálné i složité vztahy platí následující vztahy: $a,b$

modul libovolného čísla je roven nebo větší než nula: , a tehdy a jen tehdy $|a| \geqslant 0$ $|a|=0$ $a=0;$
moduly opačných čísel se rovnají: $|{-a}|=|a|;$
modul součinu dvou (nebo více) čísel se rovná součinu jejich modulů: $|ab|=|a||b|;$
- zejména lze ze znaménka modulu odečíst konstantní kladný faktor: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
modul podílu dělení dvou čísel se rovná podílu dělení modulu těchto dvou čísel: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}});$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( trojúhelníková nerovnost );
$|ab|\leqslant |a|+|b|;$
$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
$|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$
$|a^{k}|=|a|^{k},$ pokud existuje. $a^k$

Historie

To je věřil, že termín byl navrhován být používán Kots , student Newtona . Tuto funkci používal i Leibniz , který nazval modul a označil: mol. Obecně přijímaný zápis pro absolutní velikost byl představen v 1841 Weierstrass . Pro komplexní čísla zavedli tento koncept Cauchy a Argan na začátku 19. století.

V programovacích jazycích

Vzhledem k tomu, že se tato funkce počítá poměrně jednoduše (konkrétně pomocí srovnání a přiřazení ), je obvykle zahrnuta ve standardním seznamu funkcí ve všech programovacích jazycích . Například Pascal má funkci abs(x), zatímco C má fabs(x) pro typ real . In Wolfram Mathematica: Abs[x].

Generalizace

Koncept absolutní hodnoty může být zaveden v libovolném uspořádaném kruhu nebo uspořádaném poli a jeho vlastnosti budou podobné těm, které jsou uvedeny výše.

Zobecnění konceptu modulu lze považovat za normu prvku vícerozměrného vektorového prostoru označovaného . Norma vektoru v euklidovském prostoru se někdy také nazývá modul. Analogicky s modulem rozdílu mezi čísly je norma rozdílu mezi dvěma vektory mírou blízkosti mezi nimi. Na rozdíl od modulu čísla lze normu vektoru definovat různými způsoby, ale v případě jednorozměrného prostoru je norma vektoru úměrná (často se rovná) modulu jeho jediné souřadnice. $\|x\|$

Viz také

Poznámky

↑ Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 1.
↑ Definice mediánu jako čísla (bodu), které minimalizuje součet vzdáleností k určité množině . (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Velký sovět (1 ed.) Technické (1 ed.) Britannica (online)