Nekonečná sada

Nekonečná množina je množina , která není konečná . Můžeme dát několik dalších ekvivalentních definic nekonečné množiny:

Množina, ve které pro libovolné přirozené číslo existuje konečná podmnožina prvků . $n$ $n$
Množina, která obsahuje počitatelnou podmnožinu.
Množina, ve které existuje podmnožina, která je mocninně ekvivalentní nějaké (nenulové) limitní ordinální .
Množina, pro kterou existuje bijekce s nějakou její správnou podmnožinou .

Pro každou nekonečnou množinu existuje množina s ještě větší mohutností – neexistuje tedy nekonečná množina s větší mohutností. Mohutnosti nekonečných množin se nazývají alefy (“ alef ”, א je první písmeno hebrejské abecedy ) a označují se tam, kde index prochází všemi pořadovými čísly . Mohutnosti nekonečných množin tvoří dobře uspořádanou třídu – nejmenší mohutnost nekonečné množiny je (aleph-0, mohutnost množiny přirozených čísel), následovaná $\aleph _{\alpha },$ $\alpha$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\tečky \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\tečky \aleph _{\omega _{1)) ,\tečky \aleph _{\omega _{\omega _{1))},\tečky$

Příklady

Množiny přirozených čísel, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla, komplexní čísla jsou nekonečné množiny. $\N$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C}$
Sada funkcí je nekonečná. $\N \do \N$
Uspořádaná nekonečná množina může mít „konce“ (minimální a maximální prvky) – například množina racionálních čísel na segmentu $[0,1].$
Množina všech nekonečných podmnožin spočetné množiny je nepočitatelná nekonečná množina.

Nekonečná sada

Příklady

Viz také