Nekonečný prostor

Nekonečněrozměrný prostor je vektorový prostor s nekonečně velkým rozměrem . Studium nekonečněrozměrných prostorů a jejich zobrazení je hlavním úkolem funkcionální analýzy. Nejjednodušší nekonečněrozměrné prostory jsou Hilbertovy prostory , které jsou svými vlastnostmi nejblíže konečnorozměrným euklidovským prostorům [1] .

Definice

Lineární vektorový prostor se nazývá nekonečně-rozměrný, pokud pro libovolné celé číslo obsahuje lineárně nezávislý systém skládající se z vektorů [2] [3] . $N>0$ $N$

Základ

Pro nekonečně-dimenzionální prostor existují různé definice báze . Takže například Hamelova báze je definována jako množina vektorů v lineárním prostoru, takže jakýkoli prostorový vektor může být reprezentován jako nějaká jejich konečná lineární kombinace jedinečným způsobem.

Pro topologické vektorové prostory lze definovat Schauderovu bázi . Systém prvků tvoří Schauderovu bázi prostoru , pokud je každý prvek jednoznačně reprezentován jako konvergentní řada [4] . Schauderův základ ne vždy existuje. ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\))$ $E$ $x\in E$ ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k))$

Příklady

Lineární prostor spojitých funkcí na daném intervalu [2] .
Hilbertův prostor tvořený nekonečnou posloupností čísel s konvergentním součtem čtverců [5] . $x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$ $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$
Množina všech polynomů [6] .
Fázový prostor ve statistické fyzice je téměř nekonečně-rozměrný. [7]
Prostor čtvercových součtových posloupností

Vlastnosti

Nekonečně-rozměrný prostor není izomorfní k žádnému konečně-rozměrnému [8] .

Viz také

konečně-dimenzionální prostor

Poznámky

↑ Funkční analýza // Matematický encyklopedický slovník / kap. vyd. Yu V. Prochorov . - M., Sovětská encyklopedie , 1988. - str. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , str. 33.
↑ Shikin E. V. Lineární prostory a zobrazení. - M., Moskevská státní univerzita , 1987. - str. 17
↑ Jeřáb, 1964 , str. 74.
↑ Shilov, 1961 , str. 182.
↑ Efimov, 2004 , str. 42.
↑ Manin Yu.I. Matematika jako metafora. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - S. 148
↑ Efimov, 2004 , str. 39.

Literatura

Efimov N.V. , Rozendorn E.R. Lineární algebra a vícerozměrná geometrie. - M. : Fizmatlit, 2004. - 464 s. - ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.
vyd. Crane S.G. Funkční analýza. - M. : Nauka, 1964. - 424 s. - 17 500 výtisků.