Prostor čtvercových součtových posloupností

Prostor čtvercových součtových posloupností je metrický prostor , jeden ze základních prostorů posloupností , sestává z nekonečných posloupností čísel, pro které řada: $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2))

konverguje a kde vzdálenost mezi dvěma body je definována jako [1] : $\rho (x,y)$ $x, y$

{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2))))

Standardní zápis je [1] . Jediný sekvenční prostor , kterým je Hilbertův prostor . $\ell ^{2}$ $\ell ^{p}$

Součet prvků a násobení reálným číslem jsou definovány složkově analogicky s euklidovským prostorem :

\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+ y_{i}\}_{i=1}^{\infty }

, .

{\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty ))

Skalární součin:

(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}

Norma v takovém prostoru je definována jako:

\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)))={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2} }}

Příklady:

nekonečné posloupnosti formy jsou zahrnuty, protože řada konverguje; $x=(1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),\tečky ,{\frac {1}{n)),\tečky )$ $\ell ^{2}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))))$
koeficienty Fourierovy řady jsou takové, že , což vyplývá z Besselovy nerovnosti . $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n} ,\tečky )\in \ell ^{2}$

Jakýkoli euklidovský prostor je podprostorem prostoru , což vyplývá z možnosti reprezentovat jeho body ve tvaru . $\mathbb {R} ^{n}$ $\ell ^{2}$ $x=(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n},0,0,\tečky )$

Kvantová mechanika byla původně vyvinuta ve formě dvou ekvivalentních teorií: Heisenbergova maticová mechanika , používat prostor , a Schrödingerova vlnová mechanika , používat Hilbert prostor izomorfní k tomu [2] . $\ell ^{2}$ $L^{2}$

Prostor se někdy nazývá souřadnicový Hilbertův prostor [1] . $\ell ^{2}$

Viz také

Prostor ohraničených posloupností

Poznámky

↑ 1 2 3 Sobolev V. I. Přednášky o dalších kapitolách matematické analýzy. - M., Nauka , 1968. - str. 32
↑ A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin . Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - M. : MGU, 1960. - T. II. Míra, Lebesgueův integrál, Hilbertův prostor. - S. 94-96.

Literatura

Vulikh BZ Úvod do funkční analýzy. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 výtisků.
Hilbertův prostor _