Kvantová (vlnová) mechanika je základní fyzikální teorie , která popisuje přírodu v měřítku atomů a subatomárních částic . Je základem celé kvantové fyziky, včetně kvantové chemie , kvantové teorie pole , kvantové technologie a kvantové informatiky .
Klasická fyzika , soubor teorií, které existovaly před příchodem kvantové mechaniky, popisuje mnoho aspektů přírody v běžném ( makroskopickém ) měřítku, ale nestačí je popsat kvantitativně na malých (atomových a subatomárních ) měřítcích. Většinu teorií klasické fyziky lze odvodit z kvantové mechaniky jako aproximace platné na velkých (makroskopických) měřítcích [2] .
Kvantová mechanika se liší od klasické fyziky tím, že energie , hybnost , moment hybnosti a další veličiny vázaného stavu systému nemohou nabývat libovolných hodnot, ale jsou omezeny na diskrétní hodnoty ( kvantizace ), objekty mají vlastnosti obou částic . a vlny ( dualita vlna-částice ), a naše schopnost přesně předpovídat hodnotu fyzikální veličiny před jejím změřením má své limity za předpokladu kompletní sady počátečních podmínek ( princip neurčitosti ).
Kvantová mechanika se postupně vynořila z teorií vysvětlujících pozorování, která nemohla být uvedena do souladu s koncepty klasické fyziky, jako je řešení problému záření černého tělesa Maxe Plancka z roku 1900 korespondence mezi energií a frekvencí světelného kvanta v díle Alberta Einsteina z roku 1905 . paper kdo vysvětlil fotoelektrický jev . Tyto rané pokusy pochopit mikroskopické jevy, nyní známé jako „ stará kvantová teorie “, vedly v polovině 20. let k rychlému rozvoji kvantové mechaniky v práci Nielse Bohra , Erwina Schrödingera , Wernera Heisenberga , Maxe Borna a dalších. Moderní teorie je formulována pomocí různých speciálně vyvinutých matematických formalismů . V jednom poskytuje matematická entita zvaná vlnová funkce informace ve formě amplitud pravděpodobnosti o tom, k čemu vedou měření energie, hybnosti a dalších fyzikálních vlastností částice.
Kvantová mechanika umožňuje vypočítat vlastnosti a chování fyzikálních systémů. Obvykle se aplikuje na mikroskopické systémy: molekuly, atomy a subatomární částice [3] :1,1 . Bylo také prokázáno, že kvantová mechanika správně popisuje chování složitých molekul s tisíci atomy [4] , i když při pokusu o její aplikaci na člověka vyvstávají filozofické otázky a paradoxy, jako např. Wignerův přítel , a její aplikace na Vesmír jako spekulativní zůstává i celek [5] . Předpovědi kvantové mechaniky byly experimentálně potvrzeny s extrémně vysokou mírou přesnosti [K 1] [8] .
Základním rysem kvantové teorie je, že obvykle nedokáže s jistotou předpovídat hodnoty fyzikálních veličin (dynamických proměnných), ale pouze udává pravděpodobnosti jejich měření [9] . Matematicky, pravděpodobnost se nalézá odmocněním absolutní hodnoty komplexního čísla , známého jako amplituda pravděpodobnosti [10] [11] . Toto tvrzení je známé jako Bornovo pravidlo , pojmenované po fyzikovi Max Bornovi [12] [13] . Například kvantová částice, jako je elektron , je popsána vlnovou funkcí , která nastavuje amplitudu pravděpodobnosti pro každý bod v prostoru. Použití Bornova pravidla na tyto amplitudy určuje funkci hustoty pravděpodobnosti pro souřadnici částice, když se provádí experiment k jejímu měření. To je to nejlepší, co teorie může dát; nelze přesně říci, kde se elektron najde. Schrödingerova rovnice popisuje vývoj systému v čase, to znamená, že spojuje množinu amplitud pravděpodobnosti vztahujících se k jednomu časovému okamžiku se množinou amplitud pravděpodobnosti vztahujících se k jinému časovému okamžiku [14] [13] .
Jedním z důsledků matematických pravidel kvantové mechaniky je kompromis při snaze definovat různé měřitelné veličiny. Nejznámější forma takového kompromisu, princip neurčitosti , říká, že bez ohledu na to, jak je stav kvantové částice připraven nebo jak pečlivě jsou na této částici prováděny experimenty, není možné přesně předpovědět hodnoty jeho polohu a hybnost v jednom časovém okamžiku při měření [15] .
Dalším důsledkem matematických pravidel kvantové mechaniky je kvantová interference , jejímž příkladem je zkušenost se dvěma štěrbinami . V základní verzi tohoto experimentu koherentní zdroj světla , jako je laser , osvětluje neprůhlednou desku se dvěma rovnoběžnými štěrbinami proříznutými skrz a světlo procházející štěrbinami je pozorováno na stínítku za deskou [16] :102– 111 [3] :1,1–1,8 . Vlnová povaha světla znamená, že světelné vlny procházejí dvěma štěrbinami, interferují a vytvářejí na stínítku světlé a tmavé pásy – výsledek, který by se nedal očekávat, kdyby se světlo skládalo z klasických částic [16] . Zkušenosti však vždy ukazují, že světlo je v jednotlivých bodech pohlcováno stínítkem ve formě jednotlivých částic, a nikoli vln; Interferenční obrazec se objevuje v důsledku různé hustoty světla fotografické desky, když tyto částice dopadnou na stínítko. Navíc v jiných variantách experimentu, zahrnujících detektory ve štěrbinách, bylo zjištěno, že každý pozorovaný foton prochází jednou štěrbinou (jako klasická částice), a nikoli oběma štěrbinami (jako vlna) [16] :109 [17 ] [18] . Z takových experimentů vyplývá, že částice netvoří interferenční obrazec, pokud se zjistí, kterou štěrbinou procházejí. Bylo zjištěno, že jiné objekty v atomárním měřítku, jako jsou elektrony , vykazují stejné chování, když spadnou na obrazovku se dvěma štěrbinami [3] . Toto chování mikroobjektů je známé jako dualita vlna-částice – „leží v srdci“ kvantové mechaniky [19] .
Dalším fenoménem, který je v rozporu s každodenní zkušeností, předpovídanou kvantovou mechanikou, je kvantové tunelování , kdy částice po srážce s potenciální bariérou ji může překonat, i když její kinetická energie je menší než potenciální maximum [20] . V klasické mechanice se tato částice vždy odráží od bariéry. Kvantové tunelování má několik důležitých pozorovatelných důsledků, včetně radioaktivního rozpadu , jaderné fúze ve hvězdách a aplikací, jako je skenovací tunelovací mikroskopie a tunelové diody [21] .
Když kvantové systémy interagují, výsledkem může být vytvoření kvantového zapletení : jejich vlastnosti se tak propletou, že už není možné popsat celek z hlediska jeho jednotlivých částí. Schrödinger nazval zapletení [22]
"...charakteristickým rysem kvantové mechaniky je úplný odklon od klasických způsobů chápání"
Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] „… charakteristický rys kvantové mechaniky, ten, který prosazuje její úplný odklon od klasických myšlenkových směrů“Kvantové zapletení implementuje kontraintuitivní vlastnosti kvantové pseudotelepatie a může se ukázat jako cenná technika v komunikačních protokolech, jako je distribuce kvantového klíče a ultrahusté kódování [23] . Na rozdíl od populární mylné představy, zapletení neumožňuje posílat signály rychleji, než je rychlost světla , což demonstruje věta bez vazby [23] .
Další možností, kterou zapletení nabízí, je testování „ skrytých proměnných “, hypotetických vlastností, které jsou zásadnější než veličiny uvažované v samotné kvantové teorii, jejichž znalost by umožnila přesnější předpovědi, než může poskytnout kvantová teorie. Řada výsledků, zejména Bellův teorém , ukázala, že široké třídy takových teorií skrytých proměnných jsou ve skutečnosti neslučitelné s kvantovou fyzikou. Podle Bellova teorému , pokud je příroda skutečně popsána nějakou teorií lokálních skrytých proměnných, pak výsledky testování Bellových nerovností budou omezeny určitým způsobem, který lze kvantifikovat. Mnoho Bellových testů bylo provedeno pomocí provázaných částic a ukázalo se, že výsledky nejsou v souladu s omezeními uloženými teoriemi s místními skrytými proměnnými [24] [25] .
Je nemožné prezentovat tyto pojmy více než povrchně, aniž bychom uvedli skutečnou matematiku; porozumění kvantové mechanice vyžaduje nejen manipulaci s komplexními čísly, ale také lineární algebru , diferenciální rovnice , teorii grup a další složitější oblasti matematiky. Fyzik John C. Baez varuje [26] :
„… nelze pochopit výklad kvantové mechaniky, aniž bychom byli schopni vyřešit problémy kvantové mechaniky – abychom tuto teorii pochopili, musíme ji umět používat (a naopak).
Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] „… neexistuje způsob, jak porozumět interpretaci kvantové mechaniky, aniž bychom zároveň nebyli schopni řešit problémy kvantové mechaniky — k pochopení teorie je třeba ji umět používat (a naopak)“.Carl Sagan nastínil „matematický základ“ kvantové mechaniky a napsal [27] :
„Většině studentů fyziky to může trvat řekněme od třetí třídy až po zahájení postgraduální školy – asi 15 let. (…) Množství práce, kterou musí popularizátor vědy udělat, aby se pokusil získat nějakou představu o kvantové mechanice širokému publiku, které neprošlo tímto rituálem, je skličující. Ve skutečnosti podle mého názoru neexistuje žádná úspěšná populární expozice kvantové mechaniky - částečně z tohoto důvodu.
Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] „Většině studentů fyziky to může zabrat řekněme od třetí třídy až po předčasné postgraduální studium – zhruba 15 let. […] Práce popularizátora vědy, která se snaží dostat nějakou myšlenku kvantové mechaniky k obecnému publiku, které neprošlo těmito iniciačními rituály, je skličující. Ve skutečnosti podle mého názoru neexistují žádné úspěšné popularizace kvantové mechaniky – částečně z tohoto důvodu.“V souladu s tím tento článek představí matematickou formulaci kvantové mechaniky a zváží její aplikaci na některé užitečné a často studované příklady.
Kvantová mechanika byla vyvinuta v prvních desetiletích 20. století kvůli potřebě vysvětlit jevy, které nebylo možné vysvětlit v rámci klasického přístupu [28] . Vědecký výzkum vlnové povahy světla začal v 17. a 18. století, kdy vědci jako Robert Hooke , Christian Huygens a Leonard Euler navrhli vlnovou teorii světla založenou na experimentálních pozorováních [29] . V roce 1803 anglický polyhistor Thomas Young popsal slavný experiment s dvojitou štěrbinou . Tento experiment sehrál důležitou roli v obecném přijetí vlnové teorie světla [30] .
Na počátku 19. století dal chemický výzkum Johna Daltona a Amedea Avogadra váhu atomové teorii hmoty, myšlence, na níž James Clerk Maxwell , Ludwig Boltzmann a další postavili kinetickou teorii plynů . Úspěch kinetické teorie dále posílil víru v myšlenku, že hmota se skládá z atomů, ale i tato teorie měla nedostatky, které bylo možné odstranit pouze s rozvojem kvantové mechaniky [31] . Zatímco raný koncept atomů z řecké filozofie byl, že jde o nedělitelné jednotky – slovo „atom“ pochází z řečtiny pro „neřezaný“ – hypotézy o subatomární struktuře byly formulovány v 19. století. Jedním z důležitých objevů v tomto ohledu bylo pozorování Michaela Faradaye v roce 1838 záře způsobeného elektrickým výbojem uvnitř skleněné trubice obsahující plyn o nízkém tlaku. Julius Plücker , Johann Wilhelm Gittorf a Eugen Goldstein pokračovali a zdokonalili Faradayovu práci, což vedlo k identifikaci katodových paprsků , které, jak objevil J. J. Thomson , sestávají ze subatomárních částic, později nazývaných elektrony [32] [33] .
Problém záření černého tělesa objevil Gustav Kirchhoff v roce 1859 [34] . V roce 1900 Max Planck předpokládal, že energie je emitována a absorbována v diskrétních „kvantách“ (neboli energetických balíčcích). To umožnilo vysvětlit pozorované spektrum záření černého tělesa [35] . Slovo „ quantum“ pochází z latiny , což znamená „kolik“ [36] . Podle Plancka lze množství energie považovat za rozdělené na „prvky“, jejichž velikost ( E ) bude úměrná jejich frekvenci ( ν ):
,kde h je Planckova konstanta . Planck pečlivě trval na tom, že se jedná pouze o aspekt procesů absorpce a emise záření, a nikoli o fyzikální realitu záření [37] . Ve skutečnosti si nemohl vybrat, zda bude svou kvantovou hypotézu považovat za matematický trik k získání správné odpovědi, nebo za významný objev [38] [39] . V roce 1905 však Albert Einstein realisticky interpretoval Planckovu kvantovou hypotézu a použil ji k vysvětlení fotoelektrického jevu , při kterém světlo dopadající na určité materiály může vyrazit elektrony z materiálu [19] [40] . Niels Bohr pak rozvinul Planckovy představy o záření tím, že je začlenil do modelu atomu vodíku , který úspěšně předpověděl spektrální čáry vodíku [41] . Einstein vyvinul tuto myšlenku, aby ukázal, že elektromagnetickou vlnu , jako je světlo, lze také popsat jako částici (později nazývanou foton ) s diskrétním množstvím energie, které závisí na její frekvenci [42] [43] . Einstein ve svém článku O kvantové teorii záření rozšířil vztah mezi energií a hmotou, aby vysvětlil absorpci a emisi energie atomy. Ačkoli jeho obecná teorie relativity v té době zastínila tuto myšlenku, tento článek formuloval mechanismus stimulované emise [44] , který se stal základním provozním principem laserů [45] .
Tato fáze ve vývoji kvantové teorie je známá jako stará kvantová teorie . Nikdy nebyl úplný a konzistentní a byl spíše souborem heuristických oprav klasické mechaniky [46] . Stará teorie je nyní chápána jako semiklasická aproximace [47] k moderní kvantové mechanice [48] . K pozoruhodným výsledkům z tohoto období patří, kromě výše zmíněných prací Plancka, Einsteina a Bohra, práce Einsteina a Petera Debye o specifickém teplu pevných látek [49] , důkaz Bohra a Hendriky Johanny van Leeuwen , že klasická fyzika nemůže vysvětlit diamagnetismus a expanzi pomocí modelu Arnolda Sommerfelda Bohra, včetně relativistických efektů [50] .
V polovině 20. let byla vyvinuta kvantová mechanika a stala se standardní formulací atomové fyziky. V roce 1923 francouzský fyzik Louis de Broglie předložil teorii vlnění hmoty a uvedl, že částice mohou vykazovat vlnové charakteristiky a naopak. Na základě de Broglieho přístupu se v roce 1925 zrodila moderní kvantová mechanika, když němečtí fyzici Werner Heisenberg , Max Born a Pascual Jordan [51] [52] vyvinuli maticovou mechaniku a rakouský fyzik Erwin Schrödinger vynalezl vlnovou mechaniku . Born předložil pravděpodobnostní interpretaci Schrödingerovy vlnové funkce v červenci 1926 [53] . Vznikla tak celá oblast kvantové fyziky, což vedlo k jejímu širšímu uznání na páté Solvayově konferenci v roce 1927 [54] .
V roce 1927 W. Heitler a F. London vypočítali spektrum molekuly vodíku a vysvětlili výskyt chemické vazby v molekulách. F. Bloch položil základy pohybu částic v periodickém potenciálu krystalové mřížky. V témže roce W. Pauli zobecnil Schrödingerovu rovnici zohledňující spin elektronu [55] , v následujícím roce se objevila relativistická rovnice pro elektron - Diracova rovnice , která předpovídala existenci antičástic [56] .
Einstein neuznával kvantovou mechaniku jako úplnou teorii, tedy teorii, která zcela popisuje přírodu. Proto se v roce 1935 objevil článek o paradoxu vznikajícím v propleteném systému, který se dnes nazývá Einstein-Podolsky-Rosen paradox . Schrödinger podpořil myšlenku EPR a přišel s Schrödingerovou kočkou . Tyto paradoxy přitahují pozornost badatelů základů kvantové mechaniky [57] .
Řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku má analytickou formu, ale řešení pro mnohoelektronový atom není známé a vznikají různé přibližné metody pro výpočet vlnových funkcí. Například v roce 1928 navrhl metodu self-konzistentní pole D. Hartree a v roce 1930 V. A. Fock tento přístup rozšířil s přihlédnutím ke spinu elektronů [58] .
Do roku 1930 byla kvantová mechanika dále sjednocena a formalizována Davidem Hilbertem , Paulem Diracem a Johnem von Neumannem [59] s větším důrazem na formalizaci procesu měření , statistickou povahu našeho poznání reality a filozofické úvahy o „ pozorovatel“ . Od té doby pronikl do mnoha oborů, včetně kvantové chemie, kvantové elektroniky , kvantové optiky a kvantové informatiky . Vysvětluje také rysy moderní periodické tabulky prvků a popisuje chování atomů při tvorbě chemické vazby a elektronový proud v polovodičích , a proto hraje zásadní roli v mnoha moderních technologiích. Přestože kvantová mechanika byla vytvořena pro popis světa ve velmi malých měřítcích, je také nutné vysvětlit některé makroskopické jevy jako supravodiče [60] a supratekutiny [61] . Teorii supravodičů prvního druhu vybudovali D. Bardeen L. Cooper a Schrieffer v roce 1957 [62] [63] .
V roce 1954 se díky práci Ch. Townse , N. G. Basova a A. M. Prochorova objevily první mikrovlnné generátory, čpavkové masery [ 64] [65] . Pro zesílení záření v optickém rozsahu použil rubín T. Maiman v roce 1960 [66] . V roce 1963 vytvořil Zh. Alferov první polovodičové heterostruktury , na jejichž základě vznikají moderní polovodičové lasery [65] .
V roce 1980 popsal Paul Benioff první kvantově mechanický model počítače. V této práci P. Benioff ukázal, že počítač může pracovat v souladu se zákony kvantové mechaniky, pomocí Schrödingerovy rovnice popsal Turingovy stroje, čímž položil základ pro další práci v oblasti kvantových počítání [67] . První experimentální demonstrace dvouqubitového kvantového počítače pracujícího na fenoménu nukleární magnetické rezonance byla hlášena v roce 1998 [68] . V říjnu 2019 Google oznámil, že se mu podařilo postavit 53-qubitový supravodivý kvantový procesor Sycamore a prokázal „ kvantovou převahu “ nad konvenčními počítači [69] [70] [71] .
V matematicky rigorózní formulaci kvantové mechaniky je stav kvantově mechanického systému vektor daný v komplexním ( oddělitelném ) Hilbertově prostoru . Předpokládá se, že tento vektor je normalizován vzhledem ke skalárnímu součinu Hilbertova prostoru, to znamená, že splňuje podmínku a je správně definován až do komplexního čísla modulo 1 (globální fáze), nebo jinými slovy, stavy a představují stejný fyzikální systém [72] [73] . Možné stavy jsou body projektivního Hilbertova prostoru, obvykle nazývaného komplexní projektivní prostor . Přesná povaha tohoto Hilbertova prostoru závisí na daném systému – například pro popis polohy a hybnosti částice je Hilbertův prostor prostorem komplexních čtvercových integrovatelných funkcí [K 2] , zatímco Hilbertův prostor prostor pro rotaci jedné částice je jednoduše prostorem dvourozměrných komplexních vektorů s obvyklým skalárním součinem [75] .
Zájmové fyzikální veličiny - souřadnice, hybnost, energie, spin - jsou reprezentovány pozorovatelnými veličinami (nebo jednoduše pozorovatelnými veličinami), které jsou spojeny s hermitovskými (přesněji samoadjungovanými ) lineárními operátory působícími v Hilbertově prostoru. Kvantový stav může být vlastní vektor pro operátora pozorovatelného nebo vlastní stav a související vlastní hodnota odpovídá hodnotě pozorovatelného v tomto vlastním stavu [76] . Obecněji je kvantový stav dán lineární kombinací vlastních stavů, známou jako kvantová superpozice [77] . Při měření pozorovatelného bude výsledkem jedno z jeho diskrétních vlastních čísel s pravděpodobností danou Bornovým pravidlem : v nejjednodušším případě je vlastní číslo nedegenerované a pravděpodobnost je dána , kde je jeho vlastní vektor [78 ] . V obecnějším případě je vlastní hodnota degenerovaná a pravděpodobnost je dána vztahem , kde je projekce na příslušný vlastní prostor [79] . V případě, že je uvažováno spojité spektrum vlastních hodnot, tyto vzorce používají koncept hustoty pravděpodobnosti [80] .
Pokud je po měření získán výsledek , pak se předpokládá, že kvantový stav se zhroutí na , v nedegenerovaném případě, nebo , v obecném případě [81] . Pravděpodobnostní povaha kvantové mechaniky tedy pramení z procesu měření. Toto je jeden z nejobtížnějších fyzikálních aspektů kvantových systémů na pochopení. Na toto téma se zaměřila slavná Bohr-Einsteinova debata , ve které se oba vědci pokusili objasnit tyto základní principy pomocí myšlenkových experimentů . Po desetiletí po formulaci kvantové mechaniky byla široce studována otázka, co představuje „měření“. Byly formulovány modernější interpretace kvantové mechaniky , které se zbavují konceptu „ redukce (kolapsu) vlnové funkce “ (viz například výklad mnoha světů ). Základní myšlenkou je, že když kvantový systém interaguje s měřicím zařízením, jejich příslušné vlnové funkce se zapletou , takže původní kvantový systém přestane existovat jako nezávislá entita. Více podrobností viz článek o měření v kvantové mechanice [82] .
Vývoj kvantového stavu v čase je popsán Schrödingerovou rovnicí [83] :
Zde je Hamiltonián systému nebo operátor pozorovatelného odpovídající celkové energii systému a je redukovaná Planckova konstanta . Konstanta je zavedena tak, že se hamiltonián redukuje na klasický hamiltonián v případech, kdy se kvantový systém svými vlastnostmi blíží odpovídajícímu klasickému modelu; možnost provést takovou aproximaci v určitém limitu se nazývá princip korespondence [84] .
Formální řešení této diferenciální rovnice je dáno výrazem [85]
Operátor je známý jako evoluční operátor a má důležitou vlastnost unitarity . Tentokrát je evoluce deterministická v tom smyslu, že daný počáteční kvantový stav dává tento operátor definitivní předpověď toho, jaký bude kvantový stav v kterémkoli dalším následujícím čase [86] .
Některé vlnové funkce popisují rozdělení pravděpodobnosti, která jsou nezávislá na čase, jako jsou vlastní stavy Hamiltonova . Mnoho dynamických systémů uvažovaných v klasické mechanice je popsáno takovými "stacionárními" vlnovými funkcemi. Například jeden elektron v nevybuzeném atomu je klasicky znázorněn jako částice pohybující se po kruhové dráze kolem atomového jádra , zatímco v kvantové mechanice je popsán stacionární vlnovou funkcí obklopující jádro [87] . Například funkce elektronové vlny pro nevybuzený atom vodíku je sféricky symetrická funkce známá jako orbital s [88] .
Analytická řešení Schrödingerovy rovnice jsou známa pro velmi málo relativně jednoduchých modelových Hamiltoniánů [89] , včetně kvantového harmonického oscilátoru [90] , částice v krabici [91] , molekulárního vodíkového iontu [92] , vodíku atom [93] [94] a další. Dokonce i atom helia , který obsahuje pouze dva elektrony, vzdoroval všem pokusům o konstrukci plně analytického řešení [95] .
Existují metody, jak najít přibližná řešení. Jedna metoda, nazvaná teorie poruch , používá analytický výsledek pro jednoduchý kvantově mechanický model ke konstrukci řešení souvisejícího, ale složitějšího modelu, například přidáním malé potenciální energie [96] . Další metoda se nazývá "kvaziklasická pohybová rovnice" a je aplikována na systémy, kterým kvantová mechanika dává jen malé odchylky od klasického chování. Tyto odchylky lze vypočítat na základě klasického pohybu [97] . Tento přístup je důležitý zejména v oblasti kvantového chaosu [98] .
Jedním z důsledků formalismu kvantové mechaniky je princip neurčitosti . Ve své nejznámější podobě tvrdí, že u kvantové částice je nemožné přesně předpovědět současně její polohu a hybnost [99] [100] . Souřadnice a hybnost jsou pozorovatelné, to znamená, že je lze reprezentovat jako hermitovské operátory. Souřadnicový operátor a operátor hybnosti spolu nekomutují, ale splňují vztah kanonické komutace [101] :
Pro daný kvantový stav umožňuje Bornovo pravidlo vypočítat matematická očekávání pro a a jejich síly. Nastavením nejistoty pozorovatelného pomocí vzorce pro směrodatnou odchylku můžeme psát pro souřadnici
a podobně pro hybnost:
Princip neurčitosti říká, že [102]
Jakákoli standardní odchylka může být v zásadě libovolně malá, ale ne obě hodnoty současně [103] . Tuto nerovnost lze zobecnit na libovolné dvojice samoadjungovaných operátorů a . Komutátor těchto dvou operátorů je z definice roven
který nastavuje spodní hranici pro součin směrodatných odchylek:
Z kanonického komutačního vztahu vyplývá, že souřadnicový a hybný operátor jsou Fourierovy transformace . Popis objektu v prostoru hybnosti je dán Fourierovou transformací jeho souřadnicového popisu. Skutečnost, že závislost na hybnosti je Fourierovou transformací souřadnicové závislosti, znamená, že operátor hybnosti je ekvivalentní (až do faktoru) převzetí derivace vzhledem k souřadnici, protože ve Fourierově analýze operace derivace odpovídá násobení v duální prostor . Proto je v kvantových rovnicích v souřadnicové reprezentaci hybnost nahrazena výrazem , a zejména v nerelativistické Schrödingerově rovnici v souřadnicovém prostoru je druhá mocnina hybnosti nahrazena Laplaciánem násobeným [99] .
Když jsou dva různé kvantové systémy uvažovány společně, Hilbertův prostor sjednoceného systému je tenzorovým součinem Hilbertových prostorů dvou složek. Nechť jsou například A a B dva kvantové systémy s Hilbertovými prostory , resp. Pak je Hilbertův prostor složeného systému
Pokud je stav pro první systém vektor a stav pro druhý systém je , pak je stav složeného systému
Ne všechny stavy ve společném Hilbertově prostoru lze zapsat touto formou, protože princip superpozice implikuje, že jsou možné i lineární kombinace těchto „oddělitelných“ nebo „složených“ stavů. Pokud jsou například oba možné stavy systému , a a možné stavy systému , pak nový stav
popisuje platný sdílený stav, který nelze oddělit. Stavy, které nejsou oddělitelné, se nazývají entangled nebo entangled [104] [105] .
Je-li stav složeného systému provázaný, pak ani složkový systém A ani systém B nelze popsat stavovým vektorem. Místo toho lze definovat matice hustoty subsystému , které popisují výsledky, které lze získat prováděním měření pouze na jakékoli součásti systému. To však nevyhnutelně vede ke ztrátě informací: znalost matic hustot jednotlivých systémů nestačí k obnovení stavu složeného systému [104] [105] . Stejně jako matice hustoty určují stav subsystému většího systému. Podobně pozitivní měření ohodnocená operátorem (POVM) popisují dopad měření prováděného na větším systému na subsystém. POVM jsou široce používány v kvantové teorii informace [104] [106] .
Jak je popsáno výše, zapletení je klíčovou vlastností modelů procesu měření, ve kterých se detektor zaplete s měřeným systémem. Systémy interagující s prostředím, ve kterém se nacházejí, se s tímto prostředím obvykle zapletou, což je fenomén známý jako kvantová dekoherence . Může to vysvětlit, proč je v makroskopických systémech v praxi obtížné pozorovat kvantové efekty [107] .
Existuje mnoho matematicky ekvivalentních formulací kvantové mechaniky. Jednou z nejstarších a nejrozšířenějších je „ teorie transformace “ navržená Paulem Diracem , která kombinuje a zobecňuje dvě nejstarší formulace kvantové mechaniky – maticovou mechaniku (vynalezenou Wernerem Heisenbergem ) a vlnovou mechaniku (vynalezenou Erwinem Schrödingerem ) . [108] . Alternativně lze kvantovou mechaniku formulovat pomocí Feynmanova dráhového integrálu , ve kterém je kvantově mechanická amplituda považována za součet všech možných klasických a neklasických cest mezi počátečním a konečným stavem, což je kvantově mechanická analogie princip činnosti v klasické mechanice [109] .
Hamiltonián je známý jako generátor časového vývoje , protože pro každou hodnotu definuje jednotný operátor časového vývoje [110] . Z tohoto vztahu mezi a vyplývá, že jakékoli pozorovatelné , které dojíždí , bude zachováno, protože jeho očekávaná hodnota se v čase nemění [111] . Toto tvrzení lze zobecnit následovně: jakýkoli hermitovský operátor může generovat rodinu unitárních operátorů parametrizovaných proměnnou [111] . Evolucí generovanou , zde máme na mysli, že jakékoli pozorovatelné , které dojíždí s , bude zachováno. Navíc, pokud je zachována během evoluce generované , pak je zachována během evoluce generované . To implikuje kvantovou verzi výsledku, který dokázala Emmy Noetherová v klasické ( Lagrangovské ) mechanice: pro každou transformaci spojité symetrie , která ponechá akci invariantní, existuje odpovídající zákon zachování [112] .
Nejjednodušším příkladem kvantového systému se souřadnicovým stupněm volnosti je volná částice v jedné prostorové dimenzi [113] . Volná částice je částice, která nepodléhá vnějším vlivům, proto se její hamiltonián skládá pouze z její kinetické energie a Schrödingerova rovnice má tvar [114] :
kde je imaginární jednotka, je redukovaná Planckova konstanta, je hmotnost částice. Tato rovnice připouští separaci proměnných a obecné řešení Schrödingerovy rovnice je dáno výrazem ve tvaru libovolného konvergentního integrálu, který popisuje vlnový balík rovinných vln obecného tvaru [115]
kde je frekvence, je vlnové číslo a podmínka pro to, aby byl integrál konečný: v . V konkrétním případě gaussovského paketu je vlnová funkce pro částici s vlnovým číslem v daném okamžiku reprezentována jako [116]
kde je velikost vlnového paketu a je normalizační faktor. Pro takovou částici je rychlost dána výrazem Tento výraz lze rozšířit pomocí rovinných vln, abychom našli koeficient , který je explicitně vyjádřen
K nalezení chování vlnové funkce v každém okamžiku stačí integrovat. Hustota je dána druhou mocninou modulu vlnové funkce. V každém okamžiku je to stejné
Střed gaussovského vlnového balíku se pohybuje v prostoru konstantní rychlostí jako klasická částice, na kterou nepůsobí žádné síly. V průběhu času se však vlnový paket také rozšíří o množství , to znamená, že pozice se stává stále více nejistou, jak ukazuje animace [117] .
Částice v jednorozměrném potenciálu s nekonečnými stěnami je matematicky nejjednodušším příkladem, kde omezení vedou ke kvantování energetických hladin. Krabice je definována jako mající nulovou potenciální energii všude v určité oblasti, a proto nekonečnou potenciální energii všude mimo tuto oblast [99] :77–78 . Pro jednorozměrný případ ve směru lze časově nezávislou Schrödingerovu rovnici zapsat jako
S diferenciálním operátorem definovaným jako
předchozí rovnice připomíná klasickou analogii kinetické energie ,
se stav v tomto případě s energií se shoduje s kinetickou energií částice.
Obecná řešení Schrödingerovy rovnice pro částici v krabici jsou [118] :
nebo podle Eulerova vzorce
Nekonečné potenciální stěny krabice určují hodnoty nejistých koeficientů a v a , kde se musí rovnat nule. Tak v ,
a . B ,
ve kterém se nemůže rovnat nule, protože by to odporovalo postulátu, že má normu rovnou 1. Proto, protože , musí být celočíselný násobek , tj.
Toto omezení implikuje omezení energetických hladin, což dává [119]
Obdélníková kvantová studna je zobecněním problému s nekonečnou potenciální studnou na potenciální studny konečné hloubky. Problém konečné potenciální jámy je matematicky obtížnější než problém částice v krabici, protože vlnová funkce není na stěnách jámy vázána na nulu. Místo toho musí vlnová funkce splňovat složitější okrajové podmínky, protože v oblastech mimo vrt je nenulová [120] . Další související problém souvisí s obdélníkovou potenciálovou bariérou , což je model efektu kvantového tunelování [121] , který hraje důležitou roli v provozu moderních technologií, jako jsou flash paměti [122] a skenovací tunelovací mikroskopie [123] .
Potenciál kvantového harmonického oscilátoru je stejně jako v klasickém případě určen výrazem [90]
Tento problém lze vyřešit buď přímo řešením Schrödingerovy rovnice, což není triviální problém [124] , nebo pomocí elegantnější „žebříkové metody“, kterou jako první navrhl Paul Dirac [125] . Jsou uvedeny vlastní stavy kvantového harmonického oscilátoru [126]
kde a Hn jsou Hermitovy polynomy [127]
a odpovídající energetické hladiny jsou diskrétní
Toto je další příklad ilustrující diskretizaci energie pro vázané stavy [128] .
Mach-Zehnderův interferometr (MZI) ilustruje koncepty superpozice a interference s lineární algebrou ve 2-rozměrném diskrétním prostoru bez použití diferenciálních rovnic. Lze na něj pohlížet jako na zjednodušenou verzi experimentu s dvojitou štěrbinou, i když je zajímavý sám o sobě, například v experimentu s kvantovou gumou s odloženou volbou , experimentu s bombou Elitzur- Weidman a studiích kvantového zapletení [129] [130] .
Uvažujeme-li foton procházející interferometrem, pak v každém bodě může být v superpozici pouze dvou drah: „spodní“ dráha, která začíná zleva, prochází přímo oběma rozdělovači paprsků a končí nahoře a „horní“ cesta, která začíná zdola, prochází přímo oběma rozdělovači paprsků a končí vpravo. Kvantovým stavem fotonu je tedy vektor – je to superpozice „dolní“ dráhy a „horní“ dráhy , nebo pro komplexní koeficienty . Postulát vyžaduje, aby [131] [132] .
Spodní a horní děliče paprsků jsou dány maticemi a , což znamená, že když foton narazí na dělič paprsků, zůstane buď na stejné dráze s amplitudou pravděpodobnosti , nebo se odrazí na jinou dráhu s amplitudou pravděpodobnosti (s fázovým posunem z π). Zrcadlo je dáno maticí Fázový posuvník na rameni je modelován pomocí unitární matice , což znamená, že pokud je foton na dráze "nahoru", získá relativní fázi nebo zůstane nezměněn, pokud je na dráze "nahoru". spodní cesta [133] [134] .
Foton, který vstupuje do interferometru zleva, pak je vystaven rozdělovači paprsku , zrcadlu, fázovému posuvníku a dalšímu rozdělovači paprsku , je ve stavu
a pravděpodobnosti, že bude nalezen vpravo nebo nahoře, jsou stejné
Proto je možné pomocí Mach-Zehnderova interferometru odhadnout fázový posun pomocí výpočtu těchto pravděpodobností [134] .
Lze také určit, co by se stalo, kdyby byl foton definitivně buď na "dolní" nebo "horní" dráze mezi rozdělovači paprsků. Toho lze dosáhnout zablokováním jedné z cest nebo ekvivalentně odstraněním prvního rozdělovače paprsku (a vypuštěním fotonu zleva nebo zespodu, podle potřeby). V obou případech již nebude docházet k interferenci mezi cestami a pravděpodobnosti jsou dány vztahem , bez ohledu na fázi . Z toho můžeme usoudit, že foton si nevybírá jednu nebo druhou cestu po prvním rozdělovači paprsku, ale spíše je ve skutečné kvantové superpozici dvou drah [135] .
Kvantová mechanika udělala obrovské pokroky ve vysvětlování mnoha rysů našeho světa z hlediska fyzikálních jevů v malém měřítku, diskrétních veličin a interakcí, které nelze vysvětlit klasickými metodami [136] . Kvantová mechanika je často jedinou teorií, která může odhalit individuální chování subatomárních částic , které tvoří všechny formy hmoty ( elektrony , protony , neutrony , fotony a další). Zákony fyziky pevných látek a materiálové vědy jsou vysvětleny v kvantové mechanice [137] .
Současná technologie v mnoha ohledech funguje v měřítku, kde jsou kvantové efekty významné. Mezi důležité aplikace kvantové teorie patří kvantová chemie , kvantová optika , kvantové výpočty , supravodivé magnety , světlo emitující diody , optické zesilovače a lasery , tranzistory a polovodiče, mikroprocesory , lékařské a výzkumné zobrazování , jako je zobrazování magnetickou rezonancí a elektronová mikroskopie [138] . Vysvětlení mnoha biologických a fyzikálních jevů je zakořeněno v povaze chemické vazby, především v makromolekulách DNA [139] .
Ve skutečnosti je celá moderní polovodičová elektronika založena na kvantové mechanice, protože se opírá o znalost pásové struktury pevných látek. Technologie umožňuje dopovat vrstvy křemíku různými prvky a vytvářet tranzistory v nanometrovém měřítku. Mnohé z těchto prvků jsou počítačové čipy, na kterých běží všechna technologická zařízení: stolní počítače, notebooky, tablety, chytré telefony, domácí spotřebiče a dětské hračky. Světelné zdroje používané k odesílání zpráv přes kabely z optických vláken na celosvětové síti jsou lasery, vytvořené se znalostí kvantových vlastností materiálů. Navigaci chytrého telefonu zajišťuje systém Global Positioning System , který funguje na základě znalosti přesného času. Přijímač GPS na vašem telefonu, aby určil vaši vzdálenost od každého ze satelitů atomových hodin na oběžné dráze, od nich přijímá signál pro výpočet jednoho bodu vaší polohy s přesností několika metrů. Optický přechod používaný pro atomové hodiny je hyperjemný přechod. Studium měkkých tkání pacienta pomocí magnetické rezonance je založeno na nukleární magnetické rezonanci [140] .
Postuláty kvantové mechaniky říkají, že stavovým prostorem kvantového systému je Hilbertův prostor a že pozorovatelné veličiny systému odpovídají hermitovským operátorům působícím na vektory v tomto prostoru – ačkoliv Hilbertův prostor a operátory nespecifikují. Musí být vhodně zvoleny pro získání kvantitativního popisu kvantového systému, což je nezbytný krok při předpovídání chování fyzikálních systémů. K tomu využívají princip korespondence , heuristiku, která říká, že předpovědi kvantové mechaniky jsou redukovány na předpovědi klasické mechaniky v limitě velkých kvantových čísel [141] . Lze také začít se zavedeným klasickým modelem konkrétního systému a pak se pokusit uhodnout základní kvantový model, který se redukuje na klasický model v limitu fit [142] . Tento přístup je známý jako kvantizace [143] .
Když byla kvantová mechanika původně formulována, byla aplikována na modely, jejichž fit limitem byla nerelativistická klasická mechanika . Například široce studovaný model kvantového harmonického oscilátoru používá výslovně nerelativistický výraz pro kinetickou energii oscilátoru a je tedy kvantovou verzí klasického harmonického oscilátoru [124] .
Složitosti kvantování vznikají u chaotických systémů , které nemají dobrá kvantová čísla, a kvantový chaos studuje vztah mezi klasickým a kvantovým popisem v těchto systémech [144] .
Kvantová dekoherence je mechanismus, kterým kvantové systémy ztrácejí svou koherenci a stávají se tak neschopnými vykazovat mnoho typicky kvantových efektů: kvantová superpozice se stává jen součtem pravděpodobností a kvantové provázanosti jen klasickými korelacemi. Kvantová koherence se obvykle neprojevuje v makroskopickém měřítku, kromě případu teplot blížících se absolutní nule , při kterých se kvantové chování může projevit makroskopicky [K 3] [145] .
Mnoho makroskopických vlastností klasického systému je přímým důsledkem kvantového chování jeho částí. Například stabilita sypké hmoty (skládající se z atomů a molekul , které by se působením samotných elektrických sil rychle zhroutily), tuhost pevných látek a také mechanické, tepelné, chemické, optické a magnetické vlastnosti hmoty jsou výsledek interakce elektrických nábojů podle zákonů kvantové mechaniky [146] .
První pokusy spojit kvantovou mechaniku se speciální relativitou zahrnovaly nahrazení Schrödingerovy rovnice kovariantní rovnicí, jako je Klein-Gordonova rovnice nebo Diracova rovnice . Ačkoli tyto teorie byly úspěšné ve vysvětlení mnoha experimentálních výsledků, měly některé neuspokojivé vlastnosti vyplývající ze zanedbání tvorby a zániku částic. Plně relativistická kvantová teorie vyžadovala vývoj kvantové teorie pole , která používá kvantování pole spíše než fixovaný soubor částic. První konzistentní kvantová teorie pole, kvantová elektrodynamika , poskytuje úplný popis elektromagnetické interakce . Kvantová elektrodynamika je spolu s obecnou teorií relativity jednou z nejpřesnějších fyzikálních teorií, které kdy byly vytvořeny [147] [148] .
K popisu elektrodynamických systémů často není potřeba úplný aparát kvantové teorie pole. Jednodušší přístup, který se používá od úsvitu kvantové mechaniky, je považovat nabité částice za objekty kvantové mechaniky, na které působí klasické elektromagnetické pole [149] . Například elementární kvantový model atomu vodíku popisuje elektrické pole atomu vodíku pomocí klasického Coulombova potenciálu [93] [94] . Tento „poloklasický“ přístup selhává, pokud hrají důležitou roli kvantové fluktuace elektromagnetického pole, například když nabité částice emitují fotony [150] .
Pro silnou jadernou sílu a slabou jadernou sílu byly také vyvinuty kvantové teorie pole . Kvantová teorie pole silné jaderné síly se nazývá kvantová chromodynamika a popisuje vzájemné ovlivňování subjaderných částic, jako jsou kvarky a gluony . Slabá jaderná síla a elektromagnetická síla spojili ve svých kvantovaných formách do jednotné kvantové teorie pole (známé jako elektroslabá teorie ) fyzikové Abdus Salam , Sheldon Glashow a Steven Weinberg [151] .
Přestože předpovědi jak kvantové teorie, tak obecné teorie relativity byly potvrzeny přísnými a opakovanými empirickými důkazy , jejich abstraktní formalismy si vzájemně odporují, a v důsledku toho se ukázalo, že je extrémně obtížné je zahrnout do jednoho konzistentního koherentního modelu [152] . Gravitaci lze v mnoha oblastech částicové fyziky zanedbávat, takže sjednocení obecné teorie relativity a kvantové mechaniky není v těchto konkrétních aplikacích naléhavým problémem. Absence správné teorie kvantové gravitace je však důležitým problémem ve fyzikální kosmologii a při hledání elegantní „ teorie všeho “ fyziky. V důsledku toho se odstranění nesrovnalostí mezi oběma teoriemi stalo hlavním cílem fyziky 20. a 21. století. Tato teorie všeho nejen sjednotí modely subatomární fyziky, ale také odvodí čtyři základní přírodní síly z jedné síly nebo jevu [153] .
Jedním z návrhů je teorie strun , která uvádí, že bodové částice ve fyzice částic jsou nahrazeny jednorozměrnými objekty nazývanými struny . Teorie strun popisuje, jak se tyto struny šíří prostorem a jak se vzájemně ovlivňují. Na vzdálenostech přesahujících měřítko struny vypadá struna jako obyčejná částice a její hmotnost , náboj a další vlastnosti jsou určeny vibračním stavem struny. V teorii strun odpovídá jeden z mnoha vibračních stavů struny gravitonu , kvantově mechanické částici, která nese gravitační interakci [154] [155] .
Další populární teorií je smyčková kvantová gravitace , která popisuje kvantové vlastnosti gravitace a je tedy teorií kvantového prostoročasu . Smyčková teorie gravitace je pokus o kombinaci a přizpůsobení standardní kvantové mechaniky a standardní obecné teorie relativity. Tato teorie popisuje prostor jako extrémně tenkou tkaninu „utkanou“ z konečných smyček nazývaných spinové sítě . Vývoj spinové sítě v průběhu času se nazývá spinová pěna . Charakteristická délková stupnice rotační pěny je Planckova délka , která se přibližně rovná 1,616 × 10 −35 m, takže délky kratší než Planckova délka nemají v teorii gravitace žádný fyzikální význam [156] .
Od svého vzniku mnoho výsledků a nelogických aspektů kvantové mechaniky vyvolalo silnou filozofickou debatu a mnoho výkladů . Diskuze se dotýkají pravděpodobnostní povahy kvantové mechaniky, potíží s kolapsem vlnové funkce a souvisejícího problému měření a kvantové nelokality . Snad jediný konsenzus, který v těchto otázkách existuje, je ten, že žádný konsenzus neexistuje. Richard Feynman jednou řekl: „Myslím, že mohu bezpečně říci, že kvantové mechanice nikdo nerozumí“ [157] . Slovy Stevena Weinberga : „Podle mého názoru v současnosti neexistuje zcela uspokojivý výklad kvantové mechaniky“ [158] .
Názory Nielse Bohra , Wernera Heisenberga a dalších fyziků na kvantovou mechaniku jsou často kombinovány do „ kodaňské interpretace “ [159] [160] . Podle těchto názorů není pravděpodobnostní povaha kvantové mechaniky dočasnou vlastností, která bude v budoucnu nahrazena deterministickou teorií, ale konečným odmítnutím klasické myšlenky „kauzality“. Bohr zvláště zdůraznil, že každá dobře definovaná aplikace kvantově mechanického formalismu musí vždy odkazovat na experimentální uspořádání kvůli komplementární povaze výsledků získaných v různých experimentálních situacích. Výklady kodaňského typu zůstávají populární i v 21. století [161] .
Albert Einstein , jeden ze zakladatelů kvantové teorie , se obával jejího zjevného selhání v souladu s některými váženými metafyzickými principy, jako je determinismus a lokalita . Dlouhodobá výměna názorů mezi Einsteinem a Bohrem o významu a stavu kvantové mechaniky je nyní známá jako Bohr-Einsteinova debata . Einstein věřil, že kvantová mechanika musí být založena na teorii, která výslovně zakazuje akci na dálku . Tvrdil, že kvantová mechanika je neúplná; teorie byla správná, ale ne fundamentální, stejně jako termodynamika je správná , ale základní teorií, na níž je založena, je statistická mechanika . V roce 1935 Einstein a jeho spolupracovníci Boris Podolsky a Nathan Rosen publikovali argument, že princip lokality implikuje neúplnost kvantové mechaniky. Jejich myšlenkový experiment by později dostal název Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) paradox [166] . V roce 1964 John Bell ukázal, že princip lokality EPR spolu s determinismem je ve skutečnosti neslučitelný s kvantovou mechanikou: znamenají omezení korelací vytvářených systémy na dálku, nyní známé jako Bellovy nerovnosti , které mohou být narušeny provázanými částicemi [ 167] . Od té doby proběhlo několik experimentů , které tyto korelace měřily a ukázaly, že Bellovy nerovnosti se skutečně rozpadají a tím falšují spojení mezi lokalitou a determinismem [24] [25] .
Bohmova mechanika ukazuje, že je možné přeformulovat kvantovou mechaniku tak, aby byla deterministická, za cenu explicitní nelokality. Připisuje fyzikálnímu systému nejen vlnovou funkci, ale také skutečnou polohu, která se vyvíjí deterministicky podle nelokální hlavní rovnice. Vývoj fyzikálního systému je vždy dán Schrödingerovou rovnicí spolu s vedoucí rovnicí; nikdy nedochází ke kolapsu vlnové funkce. Tento přístup řeší problém měření [168] .
Everett's Many-Worlds Interpretation , formulovaný v roce 1956, uvádí, že všechny možnosti popsané kvantovou teorií se vyskytují současně v multivesmíru složeném primárně z nezávislých paralelních vesmírů. Tím odpadá problém kolapsu vlnových paketů, protože všechny možné stavy měřeného systému a měřicího přístroje spolu s pozorovatelem jsou přítomny ve skutečné fyzikální kvantové superpozici . Zatímco multivesmír je deterministický, vnímáme nedeterministické chování řízené pravděpodobnostmi, protože nepozorujeme multivesmír jako celek, ale pouze jeden paralelní vesmír v daném okamžiku. Jak přesně by to mělo fungovat, bylo předmětem mnoha debat. Bylo učiněno několik pokusů odvodit Bornovo pravidlo [169] [170] bez shody v tom, zda byly úspěšné [171] [172] [173] .
Relační kvantová mechanika se objevila na konci 90. let jako moderní derivát myšlenek kodaňského typu [174] a o pár let později byla vyvinuta teorie kvantového bayesianismu [175] .
Slovníky a encyklopedie | ||||
---|---|---|---|---|
|
Sekce kvantové fyziky | |
---|---|