Evoluční operátor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Operátor evoluce ( generátor evoluce v čase ) je operátor v kvantové mechanice , daný na Hilbertově prostoru , který přenáší stav systému z počátečního okamžiku času na jakýkoli jiný.

Spojení evolučního operátoru s Hamiltonovým operátorem

Operátor evoluce souvisí s operátorem Hamilton pomocí následujících vzorců:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\vpravo)\vpravo\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\vpravo)\vpravo\},t<t_{0}$

kde jsou operátoři pro objednání času a proti objednání. $T,\overline {T}$

Konkrétně, pokud hamiltonián nezávisí na čase, pak má evoluční operátor tvar:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Vlastnosti evolučního operátoru

1. [1] je unitární operátor. ${\hat S}(t_{2},t_{1})$

2 . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , kde je operátor identity. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\co já}$

Odvození vztahu mezi evolučním operátorem a hamiltoniánem

Podle postulátů kvantové mechaniky je čistý stav systému popsán vektorem z Hilbertova prostoru . Představujeme operátora , který jedná podle pravidla: $|\psi\rangle$ ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

Zavedený operátor musí být unitární, aby byla v čase zachována normalizace stavového vektoru. Ve Schrödingerově reprezentaci stavový vektor splňuje Schrödingerovu rovnici:

,

kde je operátor Hamilton . ${\hat H} (t)$

Pokud Hamiltonián nezávisí na čase, pak - je řešením Schrödingerovy rovnice. Z toho vyplývá, že operátor evoluce má tvar: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \rozsah$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Nyní nechejte Hamiltonův operátor záviset na čase a nechejte . Potom uvažovaný časový interval rozdělíme na intervaly a předpokládáme, že v každém z těchto intervalů je hamiltonovský operátor konstantní , at . Kdykoli pak podle předchozí úvahy má stavový vektor tvar: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\hat H}(t)={\hat H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\tečky e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Nyní si představíme operátor časového řazení , který funguje podle následujícího pravidla: $T$

T\{{\hat H}(t_{{P(m)))){\hat H}(t_{{P(m-1))))\tečky {\hat H}_{{P(1 )}}\}={\hat H}(t_{m}){\hat H}(t_{{m-1)))\tečky {\hat H}(t_{1})

for , pro jakoukoli permutaci . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\tečky,m)$

S ohledem na to lze vlnovou funkci zapsat jako:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\tečky e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Pro dojíždějící operátory platí, že . Vzhledem k tomu, že operátoři v rámci T - ordering dojíždějí, je tento přepsán jako: ${\klobouček A},{\klobouček B}$ $e^{{{\hat A}}}e^{{{\hat B}}}=e^{{{\hat A}+{\hat B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Když to dostaneme $n\rightarrow\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Proto

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\vpravo)\vpravo\},t>t_{0}

Nyní zvažte operátora pro . To je stejné, vezmeme-li v úvahu u . Využijme toho ${\hat S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\hat S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hat S}(t_{0},t){\hat S}(t,t_{0})={\hat I}$

kde je operátor identity. ${\co já}$

Pak:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\tečky e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

a přímým ověřením to ověříme

{\hat S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\tečky e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

kde je časový anti-ordering operátor. $\overline {T}$

Poznámky

↑ Operátor evoluce musí být unitární, aby byla normalizace stavového vektoru zachována v čase . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ Vlastnost 3 je důsledkem vlastnosti 2.

Viz také

Literatura

Stefanucci, Gianluca. Nerovnovážná mnohotělesná teorie kvantových systémů: moderní úvod / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - S. 81-85. — ISBN 9781139023979 .