Funkční variace

Variace funkcionálu nebo první variace funkcionálu je zobecněním konceptu diferenciálu funkce jedné proměnné, hlavní lineární části přírůstku funkcionálu v určitém směru. Pojem se používá v teorii extrémních problémů k získání nezbytných a postačujících podmínek pro extrém. Právě tento význam je vkládán do tohoto termínu, počínaje prací J. Lagrange z roku 1762 [1] . J. Lagrange uvažoval především o funkcionálech klasického variačního počtu ( děje ) tvaru:

J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\tečka {x}}(t)) \,dt.\qquad (*)

Formální definice

Uvažujme změnu funkcionálu (*) z jednoho bodu funkčního prostoru do druhého (z jedné funkce do druhé). K tomu uděláme náhradu a náhradu ve výrazu (*). Za předpokladu spojité diferencovatelnosti existuje rovnost podobná výrazu pro diferenciál funkce: $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ $L$

J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),

kde zbytek je vzdálenost mezi funkcemi a , a . V tomto případě se lineární funkcionál nazývá ( první ) variace funkcionálu a značí se . $|r(x,\;x_{1})|\to 0$ $\varepsilon\na 0$ $\delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)$ $J_{1}(\delta x)$ $J(x)$ $\delta J$

S ohledem na funkcional (*) pro první variantu nastává rovnost až do hodnoty vyššího řádu než : $|r(\delta x)|$

\delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\tečka {x }}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\tečka {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}} (L_{x}(t,\;x(t),\;{\tečka {x}}(t))-{\tečka {p}}(t))\,\delta x\,dt+p (t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},

kde

p(t)=L_{\tečka {x}}(t,\;x(t),\;{\tečka {x}}(t))

- generalizovaná hybnost.

Zároveň od $p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0$ $\delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.$

Rovnost k nule první variace pro všechny je nezbytnou podmínkou pro extrém funkcionálu . Pro funkcionál (*) tato nezbytná podmínka a hlavní lemma variačního počtu implikují Eulerovu rovnici: $\delta x$ $J(x)$

{\dot {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\tečka {x}}(t)).

Obdobně jsou definovány variace vyšších řádů.

Obecnou definici první variace v nekonečně-dimenzionální analýze podal francouzský matematik René Gateauv roce 1913. V podstatě je definice Gateau totožná s definicí Lagrange [2] .

První variace funkcionálu je homogenní, ale ne nutně lineární funkcionál, variace funkcionálu za dalšího předpokladu linearity a spojitosti (v ) výrazu se obvykle nazývá Gateauxova derivace . V moderní matematice jsou termíny „ Gato variace “, „ Gato derivát “, „ Gato diferenciál “ běžně používané než funkční variace [3] . Termín „funkční variace“ je přitom zachován pouze pro funkcionály klasického variačního počtu. $\delta x$ $\delta J(x,\;\delta x)$

Literatura

Lavrentiev, M. A., Lyusternik, L. A. Kurz variačního počtu. - ve 2 sv. - 2. vyd. - M. - L. : ONTI, 1953.

Poznámky

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulales intégrales indéfinies. Turín, 1762.
↑ Gateaux R. Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1919. - t. 47.-str. 70-96.
↑ Matematická encyklopedie / Ed. I. M. Vinogradová. - M .: Mir, 1977. - T. 1. - 1140 s.