Fanoušek Knastera-Kuratovského

Ventilátor Knaster-Kuratovský je příkladem takto spojené podmnožiny letadla, jehož odstraněním jednoho bodu se zcela odpojí . Navrhli polští matematici Knaster a Kuratowski [1] .

Konstrukce

Zvažte obdélník

S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]

Sestrojíme Cantorovu množinu na jejím spodním okraji a množinou bodů označíme Cantorovu množinu prvního druhu (tj. konce všech vzdálených intervalů) a všemi ostatními body z . Nechť toto je úsečka spojující bod s bodem $C$ $A$ $B$ $C$ $L_c$ $c\in C$ $s=\left({\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}\right).$

V těchto notacích je Knaster-Kuratovský fanoušek soubor , kde $X=Q\cup I$

{\displaystyle Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \))

I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.

Odůvodnění

Ukažme, že zavedená množina je připojena.

Předpokládejme, že tomu tak není, to znamená, že existují množiny a takové, že a zároveň . Pro jistotu budeme předpokládat, že . Označte jako bod z , přičemž -souřadnice se rovná přesným souřadnicím horní plochy - všech bodů zahrnutých v . Pokud je prázdný, budeme předpokládat, že . Je zřejmé, že nemůže patřit do , protože jinak by tento bod byl limitem pro oba a pro , což je v rozporu s předpokladem odpojení. To znamená, nebo . $Y$ $Z$ $X=Y\cup Z$ ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ $s\in Y$ $u_{c}$ $L_c$ $y$ $y$ $Z\cap L_{c}$ $Z\cap L_{c}$ $u_{c}=c$ $u_{c}$ $X\setminus C$ $Y$ $Z$ $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ $u_{c}\notin X$

Nechť jsou všechna racionální čísla intervalu , označte: $\{r_{i}\}$ $[0; jeden]$

P_{i}=\{c\in B:\existuje u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{ c\in B:\;c=u_{c}\}

Pak , to je . Všimněte si, že nejsou nikde husté v , jinak by zde byl otevřený interval, jehož průsečík s by ležel v , ale každý takový průsečík podle vlastností Cantorovy množiny musí obsahovat body z while . $B=T\cup P$ $C=A\cup T\cup P$ $P_{i}$ $C$ $C$ $P_{i}$ $A$ $P_{i}\subset B=C\setminus A$

Množina je množinou druhé kategorie jako úplný metrický prostor; navíc jakákoli otevřená podmnožina je také druhé kategorie. Ale první kategorie ( spočetně a je spočetným sjednocením nikde hustých množin), což znamená, že každá otevřená podmnožina musí obsahovat body z ; tj. těsně v . $C$ $C$ $P\cup A$ $A$ $P$ $C$ $T$ $T$ $C$

Nyní předpokládejme, že . Kvůli hustotě v , jakákoli otevřená množina obsahující , také obsahuje nějaký segment segmentu pro některé . Podle definice množiny máme , což znamená, že . Máme rozpor. To znamená, že předpoklad, že souprava není připojena, je chybný. $z\in Z$ $T$ $C$ $z$ ${\displaystyle L_{t))$ $v T$ $T$ $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$ $z\in {\overline {Y}}$ $X$

Zbývá ukázat, že odstraněním bodu dojde k jeho úplnému odpojení. Předpokládejme, že je to propojené. Pak musí ležet celý uvnitř nějakého segmentu (jinak by byl nějakým segmentem rozdělen na dvě části). Souprava je však zcela odpojena, a tedy zcela odpojena. $s$ $X$ ${\displaystyle V\subset X\setminus \{s\))$ $L_c$ $L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$ $PROTI$

Poznámky

↑ Knaster B., Kuratowski C. . Sur les ensembles connexs, Fund. Matematika 2 (1921) str. 206-255.

Literatura

Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Úvod do teorie rozměrů. Úvod do teorie topologických prostorů a obecné teorie dimenze.
Stene, Seebach. Protipříklady v topologii