Funkce váhy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Váhová funkce je matematický konstrukt používaný při sčítání, integraci nebo průměrování, aby určité prvky měly ve výsledné hodnotě větší váhu než jiné prvky. Problém často vyvstává ve statistice a počtu , úzce souvisejících s teorií míry . Váhové funkce lze použít pro diskrétní i spojité hodnoty.

Diskrétní váhové funkce

Obecné definice

Diskrétní váhová funkce je kladná funkce definovaná na diskrétní množině hodnot , která je obvykle konečná nebo spočetná . Váhová funkce odpovídá nevážené situaci, kdy všechny prvky množiny mají stejnou váhu. Pokud je funkce definována na definičním oboru reálných čísel , pak je nevážený součet on definován jako ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$ $A$ $w(a):=1$ $f:A\to {\mathbb {R} }$ $F$ $A$

\sum _{a\in A}f(a)

;

na rozdíl od váženého součtu definovaného jako ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

Některé z nejběžnějších aplikací vážených součtů jsou numerická integrace a digitální filtrování .

Jestliže B je konečná podmnožina množiny A , pak klasická mohutnost množiny |B| lze nahradit váženým výkonem

\sum _{a\in B}w(a).

Je-li A konečná neprázdná množina , můžeme zavést analogii aritmetického průměru

{\frac {1}{|A|}}\součet _{a\in A}f(a)

ve formě váženého aritmetického průměru

{\frac {\součet _{a\in A}f(a)w(a)}{\součet _{a\in A}w(a))).

V problémech s multikriteriální optimalizací se vážený součet také používá k přechodu od sady konkrétních hodnot kritérií kvality k jedinému integrálnímu kritériu (například náklady). Někdy [1] , pokud se rozsahy hodnot dílčích ukazatelů kvality výrazně liší (o několik řádů), před zjištěním číselné hodnoty integrálního kritéria se dílčí ukazatele kvality normalizují (rozsah změny každého z jsou redukovány na interval ): , a integrální kritérium se vypočítá jako , čímž se dosáhne stejného vlivu jednotlivých kritérií na výsledek při srovnatelných hodnotách váhových koeficientů . $J$ $x_{i}$ $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ $[0, 1]$ $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ $J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

Statistiky

Vážený průměr se ve statistice často používá ke kompenzaci zkreslení ( angl. Bias ). Pro skutečnou hodnotu měřenou několikrát nezávisle s rozptyly se nejlepší aproximace získá zprůměrováním všech měření s váhami : výsledný rozptyl je menší než každé nezávislé měření . V metodě maximální podobnosti jsou rozdíly váženy podobnými hodnotami . $F$ $f_{i}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2))$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2))))$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i))$ $w_{i}$

Mechanika

Termín vážená funkce pochází z mechaniky : pokud se v bodech na páce nacházejí předměty se závažím (pojem závaží má v tomto případě fyzikální význam) , páka bude v rovnováze, pokud je opěrný bod umístěn ve středu hmoty. $n$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{ já}}}

který lze interpretovat jako vážený průměr souřadnic . ${\boldsymbol {x}}_{i}$

Funkce spojitého vážení

V případě spojitých hodnot je váha kladnou mírou v nějaké oblasti , která je obvykle podmnožinou euklidovského prostoru na intervalu . Zde je Lebesgueova míra a je nezáporná funkce. V této souvislosti se v konceptu hustoty často používá váhová funkce . $w(x)dx$ $\Omega$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $[a,b]$ $dx$ ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $w(x)$