Wienerův odhad

Wienerův odhad je problém nalezení impulsní odezvy lineárního stacionárního systému , který na výstupu dává odhad hodnot užitečného signálu vstupujícího do aditivní směsi se šumem, který je optimální ve smyslu minima středního čtverce. chyba.

Podmínky

Je nutné najít impulsní odezvu lineárního stacionárního systému, jehož vstup je aditivní směsí užitečného signálu se šumem : a výstupem by měl být odhad hodnoty užitečného signálu , který minimalizuje střední čtverec chyba mezi odhadem a skutečnou hodnotou užitečného signálu . $w(t)$ $f(t)$ $y(t)$ $e(t)$ $f(t)=y(t)+e(t)$ $d(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau )f(t-\tau )d\tau$ $\epsilon ^{2}(t)=m_{1}\left\{(y(t)-d(t))^{2}\right\}$

Předpokládá se, že podmínky použití, povaha signálů a interference zůstávají poměrně stabilní, jejich statistické charakteristiky se mění jen málo. Pokud jsou podmínky proměnlivé a rušení se během provozu systémů výrazně mění, pak je nutné automaticky optimalizovat parametry systémů. To se provádí v různých druzích extrémních, adaptivních, učících se systémů.

Řešení problému

Systémová chyba je rovna rozdílu mezi odhadem a skutečnou hodnotou užitečného signálu . Minimální střední kvadratická chyba je podle definice [1] : $d(t)$ $y(t)$ $e(t)=d(t)-y(t)$

$\eta =\overline {e^{{2}}}=\overline {d^{{2}}}-2\,\overline {d\,y}+\overline {y^{{2}}}$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\overline {f(t-\tau )d(t) }\,{\mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w (\xi )w(\mu )\overline {f(t-\xi )f(t-\mu )}\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$\overline {d^{{2}}}-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\tau )\rho _{{fd}}(\tau ){\ mathrm {d}}\tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w(\xi )w (\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ .

Zde se používá notace pro korelační funkce :

$\rho _{{fd}}(\tau )=\overline {f(t)\,d(t+\tau )}$

$\rho _{{ff}}(\tau )=\overline {f(t)\,f(t+\tau )}$ .

Řádek nad vzorcem znamená časové průměrování. Předpokládáme, že optimální impulsní odezva systému existuje a je rovna . $w_{{\text{opt}}}$

Jakákoli impulsní odezva systému , která se od ní liší, pak může být reprezentována jako

$w(t)=w_{{\text{opt}}}(t)+\alpha \,\theta (t)$ ,

kde je libovolná funkce času, je proměnný koeficient. $\theta (t)$ $\alpha$

Minimální chyba směrodatné odchylky je dosažena při . Chcete-li hledat , musíte najít derivaci indikátoru kvality pomocí variačního koeficientu a přirovnat jej k nule v : $\alpha=0$ $w_{{\text{opt}}}(t)$ $\eta$ $\alpha$ $\alpha=0$

${\frac {\partial \eta }{\partial \alpha }}|_({\alpha =0}}$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\tau )\,\rho _{{fd}}(\tau )\,{\mathrm {d}}\ tau +\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\left[w_{{\text{opt}} }(\xi )\,\theta (\mu )+w_{{\text{opt))}(\mu )\,\theta (\xi )\right]\,\rho _{{ff}}( \xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$-2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\rho _{{fd}} (\xi )\,{\mathrm {d}}\xi + 2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,w_{{\text {opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\,{\mathrm {d}}\xi \,{\mathrm {d}}\mu$ =

$2\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\theta (\xi )\,\left[\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{ {\text{opt))}(\mu )\rho _{{ff))(\xi -\mu ){\mathrm {d))\mu -\rho _{{fd))(\xi )\ vpravo]\,{\mathrm {d}}\xi =0$

Protože se jedná o libovolnou funkci, poslední rovnost platí právě tehdy, když: $\Taxi )$

$\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}w_{{\text{opt}}}(\mu )\,\rho _{{ff}}(\xi -\mu )\ ,{\mathrm {d}}\mu -\rho _{{fd}}(\xi )=0$ .

Jedná se o Wiener-Hopfovu rovnici , která určuje optimální impulsní odezvu systému podle kritéria minimální střední kvadratické chyby. K vyřešení použijeme na výslednou rovnici Laplaceovu transformaci . Je známo, že Laplaceova transformace z konvoluce se rovná součinu Laplaceových transformací , pak:

$w_{{\text{opt}}}(p)S_{{ff}}(p)-S_{{fd}}(p)=0$ ,

kde ; ; . $w_{{\text{opt}}}}(p)=L{w_{{\text{opt}}}(t)}$ $S_{{ff}}(p)=L{\rho _{{ff}}(t)}$ $S_{{fd}}(p)=L{\rho _{{fd}}(t)}$

Určíme tedy optimální Wienerův filtr 1. druhu:

$W_{{\text{opt I}}}={\frac {S_{{fd}}(p)}{S_{{ff}}(p)))$ .

Když se ukáže, že řád polynomu v čitateli je vyšší než řád polynomu ve jmenovateli, je Wienerův filtr 1. druhu fyzikálně nerealizovatelný. Pro vyřešení problému je po určení impulsní odezvy nuceně při záporných hodnotách srovnána s nulou (je to rozdíl od nuly , který charakterizuje fyzickou nerealizovatelnost systému) a tedy fyzikálně realizovatelný Wienerův filtr 2. se získá. $t$ $w(t)$ $t<0$

Historie

Během 2. světové války stál americký matematik N. Wiener před úkolem oddělit užitečný signál od šumu při řešení problémů automatizace systémů protivzdušné obrany pomocí radarové technologie. V roce 1942 N. Wiener teoreticky vyřešil tento problém tím, že předpokládal, že požadovaný systém musí být lineární s konstantními parametry, doba pozorování je nekonečná, vstupní a výstupní signály systému jsou stacionární a stacionárně přidružené náhodné procesy a systém minimalizuje střední kvadratická chyba mezi užitečnými vstupními a výstupními signály. Experimentální analogová zařízení využívající tuto metodu byla vytvořena a testována, ale z řady důvodů nemohla být použita v reálných systémech protivzdušné obrany.

Viz také

Wiener-Hopfova rovnice

Poznámky

↑ Levin B. R. Teoretické základy statistické radiotechniky. Kniha druhá. - M., Sovětský rozhlas, 1968. - str. 280

Literatura

Norbert Wiener „Jsem matematik“, M., „Nauka“, 1964, kap. 12 „Válečná léta. 1940-1945", s. 213-265;
Khurgin Ya. I. „Ano, ne nebo možná…“, 2. vyd., M., Nauka, 1983, 208 stran, ilustrace, 32,81 X98 MDT 62-50 BBK 32,81 6F0,1, střelba . 100 000 výtisků, kap. "Umění naděje", s. 138-148;
L. A. Vainshtein, V. D. Zubakov „Izolace signálů na pozadí náhodného šumu“, M., „Sovětský rozhlas“, 1960, 447 s., kap. 1 "Základní pojmy teorie filtrace náhodných procesů", s. 7-54;
J. Bendat "Základy teorie náhodného šumu a jeho aplikace", M., "Nauka", 1965, 464 stran s ilustracemi, kap. 4 „Optimální lineární předvídání a filtrování“, str. 165-215;
Levin B.R. „Teoretické základy statistického radiotechniky. Kniha druhá, Moskva, Sovětský rozhlas, 1968, 502 stran s ilustracemi, kap. 4 „Filtrování náhodných procesů“, s. 278-319;