Druhá kvantizace

Sekundární kvantování ( canonical quantization ) [1] je metoda pro popis mnohačásticových kvantově mechanických systémů. Tato metoda se nejčastěji používá pro problémy v kvantové teorii pole a pro mnohočásticové problémy ve fyzice kondenzovaných látek .

Popis

Předpokládejme, že existuje klasifikace všech možných stavů každé částice nebo kvazičástice v uvažovaném systému. Stavy částice označme jako . Potom je jakýkoli možný stav systému popsán sadou čísel částic (čísla obsazení) v každém z těchto stavů . Podstata druhé kvantizační metody spočívá v tom, že místo vlnových funkcí částic v souřadnicovém nebo momentovém zobrazení se zavádějí vlnové funkce v reprezentaci obsazení různých stavů jedné částice. Výhodou druhé kvantovací metody je, že umožňuje jednotný popis systémů s různým počtem částic, a to jak s konečnou pevnou (v úlohách fyziky kondenzovaných látek), tak s proměnnou, potenciálně nekonečnou (v úlohách QFT ). Přechody mezi různými stavy (například ze stavu do stavu ) jedné částice jsou popsány jako snížení počtu obsazení odpovídající jedné vlnové funkci na jednotku a zvýšení počtu obsazení jiného stavu na jednotku . Pravděpodobnosti těchto procesů závisí nejen na elementární pravděpodobnosti přechodu, ale také na počtu obsazení zahrnutých do procesu stavů. $1,2,3,...$ $(N_{1},N_{2},N_{3},...)$ $k$ $q$ $(N_{k}\Rightarrow N_{k}-1)$ $(N_{q}\Rightarrow N_{q}+1)$

Bose-Einsteinovy statistiky

Pro částice , které se řídí Bose-Einsteinovou statistikou , je pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu , kde je elementární pravděpodobnost vypočtená standardními metodami kvantové mechaniky. Operátory, které mění počet obsazení stavů o jeden, fungují stejným způsobem jako operátory vytvoření a zničení v problému jednorozměrného harmonického oscilátoru : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)$ $w(k,q)$

[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},\ [{\hat {a}} _{i},{\hat {a}}_{j}]=0,

kde hranaté závorky označují komutátor a je to Kroneckerův symbol . $\delta _{{ij}}$

Operátor narození je podle definice matice s jedním nenulovým prvkem: [2]

{\displaystyle \left\langle N_{i}|a_{i}^{\dagger }|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_ {i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i))))

Operátor vytvoření se tak nazývá, protože zvyšuje počet částic v i-tém stavu o 1: ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$

{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt { N_{i}+1}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)

Operátor destrukce je také matice s jedním nenulovým prvkem:

{\displaystyle \left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i))))

Operátor anihilace se tak nazývá, protože snižuje počet částic v i-tém stavu o 1: ${\hat {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}} }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)

Fermi-Diracova statistika

Pro částice , které se řídí Fermi-Diracovou statistikou , je pravděpodobnost přechodu ze stavu do stavu , kde je elementární pravděpodobnost vypočtená standardními metodami kvantové mechaniky a může nabývat pouze hodnot . Pro fermiony se používají jiné operátory, které splňují antikomutační vztahy : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})$ $w(k,q)$ ${\displaystyle N_{k},N_{q))$ $0.1$

\left\{{\klobouk {a}}_{i},{\klobouk {a}}_{j}^{\dagger }\right\}={\klobouk {a}}_{i }{\klobouk {a}}_{j}^{\dagger }+{\klobouk {a}}_{j}^{\dagger }{\klobouk {a}}_{i}=\delta _{ ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.

Operátor narození je podle definice matice s jedním nenulovým záznamem: [3]

\left\langle 1_{i}|a_{i}^{\dagger }|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\ pravý\rangle ^{*}=(-1)^{\součet _{k=1}^{i-1}N_{k))

Operátor vytvoření se tak nazývá, protože zvyšuje z 0 na 1 počet částic v i-tém stavu: ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$

{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_ {1},N_{2},...,1_{i},...)

Operátor destrukce je také matice s jedním nenulovým prvkem:

\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k} }

Operátor anihilace se tak nazývá, protože snižuje počet částic v i-tém stavu o 1: ${\hat {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_ {2},...,0_{i},...)

Aplikace

Problémy přechodů kvantových částic z různých stavů, laserová fyzika, teorie Ramanova rozptylu světla, fyzika pevných látek, teorie turbulence kapalin, plynu, plazmatu [4] .

Viz také

Poznámky

↑ Termín „second quantization“ je v anglicky psané literatuře považován za zastaralý a nedávno byl nahrazen termínem „ canonical quantization “. Termín "kanonický" zdůrazňuje důležitou shodu mezi kvantovými operátory a komutátory kvantové mechaniky a kanonickou souřadnicí a hybností a Poissonovou závorkou klasické mechaniky.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Kvantová mechanika. - M., Nauka, 1972. - str. 167-168
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Kvantová mechanika. - M., Nauka, 1972. - str. 172
↑ A. S. Kingsep, Sekundární kvantování, SOZH , vol. 7, č. 5, 2001

Literatura

Berezin F. A. Druhá kvantizační metoda. - 2. vyd., dodat. — M .: Nauka, 1986. — 320 s.
Bogolyubov N. N., Bogolyubov N. N. (Jr.). Úvod do kvantové statistické mechaniky. - M. : Nauka, 1984. - 384 s.
Nguyen Van Hieu. Základy druhé kvantizační metody. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 208 s.
Yu. A. Neretin. "Metoda druhého kvantování" Berezin. Pohled o 40 let později .