Operátoři zrození a zničení

Operátory vytvoření a zničení jsou matematické operátory , které jsou široce používány v kvantové mechanice , zejména při studiu kvantových harmonických oscilátorů a mnohačásticových systémů [1] . V kvantové teorii pole mají vlnové funkce kvantovaných polí operátorový význam a rozdělují se na operátory pro vytvoření a zničení částic [2] . Operátor anihilace (obvykle označovaný ) snižuje počet částic v daném stavu o jednu. Operátor vytvoření (obvykle označovaný ) zvyšuje počet částic v daném stavu o jednu, je konjugován s operátorem anihilace. Tyto operátory se používají místo vlnových funkcí v mnoha oblastech fyziky a chemie ( druhá kvantizace ). Pojem operátorů stvoření a zániku zavedl do vědy Paul Dirac [3] . ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

Operátory stvoření a anihilace mohou ovlivnit stavy různých typů částic. Například, v kvantové chemii a teorii mnoha těl , operátoři vytvoření a zničení často ovlivňují elektronické stavy. Mohou také odkazovat konkrétně na žebříkové operátory pro kvantový harmonický oscilátor . V druhém případě je operátor nárůstu (snížení) interpretován jako operátor vytvoření (destrukce), který přidává (odebírá) kvantum energie do (ze) systému(ů) oscilátoru. Mohou být použity k reprezentaci fononů .

Matematika pro operátory tvorby bosonu a anihilace je stejná jako pro operátory žebříčku kvantového harmonického oscilátoru . Například komutátor operátorů stvoření a zániku spojený se stejným bosonovým stavem je roven jedné, zatímco všechny ostatní komutátory zmizí. Nicméně, matematika je odlišná pro fermiony , používat antikomutátory místo komutátorů [4] .

Definice

Nechť je Hilbertův prostor s jednou částicí (to znamená jakýkoli Hilbertův prostor považovaný za reprezentující stav jedné částice). ( Bosonická KKS algebra nad Hilbertovým prostorem je algebra s adjungovanými operátory (označená * ) abstraktně generovaná prvky , kde patří do , s přihlédnutím ke vztahům: $H$ $H$ $a(f)$ $F$ $H$

[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0

[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,

v notaci podprsenka a ket .

Mapování z do KKS bosonické algebry musí být komplexní antilineární . Konjugát k prvku je , a zobrazení je komplexní lineární v H . Je tedy použit jako komplexní vektorový podprostor vlastní algebry CCR. V reprezentaci této algebry bude prvek implementován jako operátor anihilace a jako operátor vytvoření. $a:f\to a(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$ $f\to a^{\dagger }(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$

V obecném případě je KKS algebra nekonečněrozměrná. Pokud vezmeme dokončení Banachova prostoru, stane se z něj C*-algebra . KKS algebra over je blízce příbuzná, ale není totožná s Weilovou algebrou . $H$

Pro fermiony je (fermionická) CAS algebra over konstruována podobně, ale místo toho používá antikomutační vztahy , jmenovitě $H$

\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0

\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .

CAS algebra je konečnorozměrná pouze tehdy, je -li konečná. Vezmeme-li doplnění Banachova prostoru (nezbytného pouze v nekonečně-dimenzionálním případě), stane se z něj algebra. CAS algebra je blízce příbuzná , ale ne totožná s, Clifford algebra . $H$ $C^{*}$

Fyzikální význam operátora je zničit částici ve stavu , zatímco vytváří částici ve stavu . $a(f)$ $|f\rangle$ $a^{\dagger }(f)$ $|f\rangle$

Vakuový stav volného pole je stav bez částic, charakterizovaný jako: $\left|0\right\rangle$

a(f)\left|0\right\rangle =0.

Je-li normalizován tak, že , pak udává počet částic ve stavu . $|f\rangle$ $\langle f|f\rangle =1$ $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ $|f\rangle$

Operátory stvoření a zániku v kvantových teoriích pole

V kvantových teoriích pole a mnohotělesném problému se používají operátory vytvoření a zániku kvantových stavů a , . Tyto operátory mění vlastní hodnoty operátoru počtu částic , ${\displaystyle a_{i}^{\dagger ))$ ${\displaystyle a_{i}^{\,))$

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

na jednotku, analogicky s harmonickým oscilátorem. Indexy (například ) reprezentují kvantová čísla , která označují jednočásticové stavy systému; proto nemusí být nutně jednotlivá čísla. Například n-tice kvantových čísel se používá k reprezentaci stavů v atomu vodíku . $i$ $(n,l,m,s)$

Komutační vztahy operátorů stvoření a zániku v systému s několika bosony jsou:

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^ {\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

kde je komutátor a je symbol Kronecker . $[\ \ ,\ \ ]$ $\delta _{{ij}}$

U fermionů je komutátor nahrazen antikomutátorem . ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \))$

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j }^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\} =0.

Proto výměna nepřekrývajících se (tj. ) operátorů při vytváření nebo zániku operátorů změní znaménko ve fermionových systémech, ale ne v bosonových systémech. $i\neq j$

Jsou-li stavy označené i ortonormální bází Hilbertova prostoru H , pak je výsledek této konstrukce stejný jako konstrukce algebry CCR a algebry CAR v předchozí části. Pokud představují vlastní vektory odpovídající spojitému spektru nějakého operátoru, jako u nevázaných částic v QFT, pak je interpretace jemnější.

Viz také

Fock prostor
Prostor Segal-Bargman
Optický fázový prostor
Bogolyubova transformace
Holštýnsko-Primakovova transformace
Jordan–Wigner transform
Mapování Jordánska
Klein transform
Kanonický komutační vztah

Poznámky

↑ Feynman, 1975 , str. 175.
↑ Bogolyubov, 1957 , str. 69.
↑ Dirac, PAMD (1927). Kvantová teorie emise a absorpce záření , Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
↑ Feynman, 1975 , str. 200-201.

Literatura

R. Feynman . Statistická mechanika. - M .: Mir, 1975. - 407 s.
N. N. Bogolyubov a D. V. Shirkov . Úvod do teorie kvantovaných polí. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1957. - 441 s.