Přepínač (algebra)

Komutátor operátorů a v algebře , stejně jako kvantová mechanika , je operátor . Obecně se nerovná nule. Pojem komutátor se také rozšiřuje na libovolné asociativní algebry (ne nutně operátorové algebry). V kvantové mechanice se jméno kvantové Poissonovy závorky také přilepilo ke komutátoru operátorů . ${\klobouk {A}}$ ${\klobouček B}$ $[{\hat A},{\hat B}]={\hat A}{\hat B}-{\hat B}{\hat A}$

Pokud je komutátor dvou operátorů roven nule, pak se nazývají komutující, jinak jsou nekomutující.

Identity s komutátorem

Antikomutativnost : Tato identita znamená, že pro jakýkoli operátor . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

V asociativní algebře platí také následující identity:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Tato identita je Leibnizovým pravidlem pro operátor , proto se operátor v algebře nazývá vnitřní derivace . Podobnou vlastnost má i operátor $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Jacobiho identita : Algebra, která splňuje Jacobiho identitu, se nazývá Lieova algebra . Z jakékoli asociativní algebry lze tedy získat Lieovu algebru, pokud v nové algebře definujeme násobení jako komutátor prvků staré algebry. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Tato identita je dalším zápisem identity Jacobi.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {ad} (A)}B.$ Tento vzorec je platný v algebrách, kde lze definovat exponent matice, jako například v Banachově algebře nebo v kruhu formálních mocninných řad . Hraje také klíčovou roli v kvantové mechanice a kvantové teorii pole při konstrukci poruchové teorie pro operátory v Heisenbergově reprezentaci a v reprezentaci interakce .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} }[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+ B ),[(A+B),[A,B]]]\vpravo)+\cdots .$

Komutátor v kvantové mechanice

Jak známo, fyzikální měření v kvantové mechanice odpovídá působení operátora fyzikální veličiny na stavový vektor systému. Takzvané čisté stavy , ve kterých má fyzikální veličina přesně definovanou hodnotu, odpovídají vlastním vektorům , zatímco hodnota veličiny v daném stavu je vlastní hodnotou vektoru čistého stavu: ${\hat F}$ $F$ ${\hat F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Jsou-li dvě kvantově mechanické veličiny současně měřitelné, pak v čistých stavech budou mít obě určitou hodnotu, tedy množiny vlastních vektorů operátorů veličin se shodují. Ale pak budou dojíždět:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}

Nekomutující operátory tedy odpovídají fyzikálním veličinám, které zároveň nemají určitou hodnotu. Typickým příkladem jsou operátory hybnosti ( složky hybnosti) a odpovídající souřadnice (viz vztah nejistoty ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\klobouček x}=x$

Zákony na ochranu

Vlastní hodnoty Hamiltoniánu kvantového systému jsou energetické hodnoty ve stacionárních stavech. Zřejmým důsledkem výše uvedeného je, že fyzikální veličinu, jejíž operátor komutuje s Hamiltoniánem, lze měřit současně s energií systému. V kvantové mechanice však energie zaujímá zvláštní roli. Ze Schrödingerovy rovnice

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi

a definice celkové derivace operátoru s ohledem na čas

{\tečka {{\hat f}}}={\klobouček {{\tečka f}}}

lze získat výraz pro celkovou časovou derivaci fyzikální veličiny, konkrétně:

{\dot {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\partial {\hat { f))}{\částečné t))

Pokud tedy operátor fyzikální veličiny komutuje s hamiltoniánem, pak se tato veličina s časem nemění . Tento vztah je kvantovou analogií identity

{\dot {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

z klasické mechaniky, kde {,} je Poissonova závorka funkcí. Podobně jako v klasickém případě vyjadřuje přítomnost určitých symetrií v systému, generujících integrály pohybu . Je to vlastnost zachování za určitých prostorových symetrií, která je základem definice mnoha kvantových analogů klasických veličin, například hybnost je definována jako veličina, která je zachována během všech translace systému, a moment hybnosti je definován jako veličina, která se zachovává při rotacích.

Některé komutační vztahy

Uveďme hodnoty některých běžně se vyskytujících komutátorů.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

je operátorem i-té složky vektoru poloměru, hybnosti a momentu hybnosti ; - delta Kronecker ; je absolutně antisymetrický pseudotensor třetí kategorie .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

Zpravidla jsou nutné vztahy pro normalizovaný moment: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Z těchto vztahů je vidět, že moment hybnosti částice nelze měřit současně s jejími souřadnicemi nebo hybností. Navíc kromě případu, kdy je moment roven nule, nejsou jeho různé složky měřitelné současně. Tento moment hybnosti se zásadně liší od hybnosti a vektoru poloměru, ve kterých lze současně určit všechny tři složky. Pro moment hybnosti můžete měřit pouze jeho průmět na nějakou osu (obvykle ) a druhou mocninu jeho délky. $z$

Lieova algebra fyzikálních veličin

Komutátor je kvantovým analogem Poissonovy závorky v klasické mechanice . Operace komutátoru zavádí strukturu Lie algebry na operátorech (nebo prvcích algebry) , takže antikomutativní násobení v Lie algebře se také nazývá komutátor.

Množství nedojíždění

Nekomutační veličiny se nazývají veličiny, jejichž komutátor . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Dvě fyzikální veličiny jsou současně měřitelné právě tehdy, když jejich operátoři dojíždějí [1] .

Antikomutátor

Antikomutátor je symetrizující operátor nad prvky prstence , který určuje stupeň „antikomutativnosti“ násobení v prstenci:

[x,y]_{+}:=xy+yx

Přes antikomutátor je zavedeno komutativní „ jordánské násobení “ . Cliffordova algebra vždy přirozeně vztahuje antikomutátor k bilineární formě, která jej definuje.

Příklady

Antikomutátor dvojice různých imaginárních jednotek pro čtveřice je roven nule.
Pomocí antikomutátoru jsou určeny Diracovy gama matice .

Literatura

Blokhintsev D. I. Základy kvantové mechaniky. - 5. vyd. — M.: Nauka, 1976. — 664 s.
Boum A. Kvantová mechanika: základy a aplikace. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Principy kvantové mechaniky. - 2. vyd. — M.: Nauka, 1979. — 480 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Viz také

Poznámky

↑ 3.7. Simultánní měření různých fyzikálních veličin . Získáno 15. dubna 2016. Archivováno z originálu 24. dubna 2016. (neurčitý)