Algebry KKS a KAS

KKS algebry (založené na kanonických komutačních vztazích ) a KAS algebry (založené na kanonických antikomutačních vztazích) se používají v matematickém aparátu kvantové mechaniky , kvantové statistické mechaniky a kvantové teorie pole při popisu statistiky a pozorovatelných vlastností všech elementárních částic: [1 ] bosony , respektive fermiony . [2] .

KKS-algebry a KAS-algebry jako *-algebry

Nechť je skutečný vektorový prostor vybavený nedegenerovanou reálnou antisymetrickou bilineární formou (tj. symplektický vektorový prostor ). jednotná *-algebra generovaná prvky, ve kterých platí vztahy $PROTI$ $(\cdot ,\cdot )$ $PROTI$

fg-gf=i(f,g)

f^{*}=f

neboť jakýkoli in se nazývá algebra kanonických komutačních vztahů (KKS-algebra) . $f,g$ $PROTI$

Pokud je naopak jednotková *-algebra generovaná prvky vybavena nedegenerovanou reálnou symetrickou bilineární formou , ve které jsou vztahy $PROTI$ $(\cdot ,\cdot )$ $PROTI$

fg+gf=(f,g)

f^{*}=f

all in se nazývá algebra kanonických antikomutačních vztahů (CAS-algebra) . $f, g$ $PROTI$

CKS C*-algebra

Existuje samostatný, ale úzce související druh KKS-algebry, nazývaný KKS C*-algebra. Nechť je skutečný symplektický vektorový prostor s nesingulárním symplektickým tvarem . V teorii operátorových algeber je KKS algebra over jednotná C*-algebra generovaná prvky s vlastnostmi $H$ $(\cdot ,\cdot )$ $H$ ${\displaystyle \{W(f):f\in H\))$

W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)

W(f)^{*}=W(-f)

Říká se jim Weylova forma kanonických komutačních vztahů a zejména z nich vyplývá, že každý prvek je unitární a . Je dobře známo, že KKS-algebra je jednoduchá neoddělitelná algebra a je jedinečná až do izomorfismu. [3] $W(f)$ $W(0)=1$

Když je Hilbertův prostor , a je dán imaginární částí vnitřního součinu, KKS-algebra je spolehlivě reprezentována na symetrickém Fockově prostoru nad , pomocí vztahu: $H$ $(\cdot, \cdot)$ $H$

W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}}, \ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}}),\ldots \right)

pro jakýkoli . Operátory pole jsou pro každý definovány jako generátory jednoparametrové unitární skupiny na symetrickém Fockově prostoru. Jsou to samoadjungované neohraničené operátory , nicméně formálně splňují relaci $f,g\in H$ $B(f)$ $f\in H$ $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$

B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle

Protože je relace reálně-lineární, definují operátory KKS-algebru přes ve smyslu oddílu 1 . $f\mapsto B(f)$ $B(f)$ $(H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$

CAS C*-algebra

Nechť je Hilbertův prostor. V teorii operátorových algeber je CAS-algebra jedinečné C*-dokončení komplexní jednotkové *-algebry generované prvky , přičemž se berou v úvahu vztahy $H$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\in H\))$

b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,

b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,

\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,

b(f)^{*}=b^{*}(f),\,

pro všechny ,. Když je oddělitelná, CAS-algebra je přibližně konečná-dimenzionální C*-algebra a v konkrétním případě nekonečně-rozměrné , je často psána jako . [čtyři] $f,g\in H$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $H$ $H$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )))$

Nechť je antisymetrický Fockův prostor nad a nechť je ortogonální projekce na antisymetrické vektory: $F_{a}(H)$ $H$ $P_a$

P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,

CAS-algebra je přesně reprezentována v , pomocí vztahu $F_{a}(H)$

b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1} \otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,

pro všechny a . Skutečnost, že tvoří C*-algebru, je vysvětlena skutečností, že operátory vytvoření a anihilace v antisymetrickém Fockově prostoru jsou omezené operátory . Navíc operátory polí tento vztah splňují $f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H$ $n\in \mathbb {N}$ $B(f):=b^{*}(f)+b(f)$

B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,

dávám odkaz na kapitolu 1 .

Viz také

Poznámky

↑ Segal I. Matematické problémy relativistické fyziky. - M., Mir, 1968. - str. 51-52
↑ Bratteli, Ola. Operátorské algebry a kvantová statistická mechanika: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. - Springer, 2. vydání, 1997. - ISBN 978-3-540-61443-2 .
↑ Petz, Denes. Pozvánka do algebry kanonických komutačních vztahů . - Leuven University Press, 1990. - ISBN 978-90-6186-360-1 . Archivováno 15. srpna 2019 na Wayback Machine
↑ Evans, David E. Quantum Symmetries in Operator Algebras / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi . - Oxford University Press, 1998. - ISBN 978-0-19-851175-5 .