Sympletický prostor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Symlektický prostor je vektorový prostor S , na kterém je definována symplektická forma , tedy bilineární šikmo symetrická nedegenerovaná 2-forma : $\omega$

\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )

\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )

\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\ omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0

Obvykle se označuje symplektická forma . Na rozdíl od tečkové formy produktu , pro kterou $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$

\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0

pro symplektickou formu vždy $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Související definice

Lineární transformace L symplektického prostoru se nazývá symplektická , pokud zachovává symplektický tvar:

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle

Množina všech symplektických transformací prostoru S tvoří grupu zvanou symplektická grupa označovanou Sp(S) .
Matice symplektické transformace se nazývá symplektická matice .
Podprostor s symplektického prostoru S se nazývá symplektický , jestliže omezení symplektické formy na s není degenerované.
O dvou vektorech se říká, že jsou šikmo ortogonální , jestliže $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0

Všimněte si, že jakýkoli vektor je vůči sobě kolmý.

Zkosený ortogonální doplněk podprostoru je množina všech vektorů, které jsou zkosené ortogonální k libovolnému vektoru z . $s\subset S$ $s$

Kanonická struktura

Symplektická struktura může být zavedena do libovolného sudého vektorového prostoru. Lze ukázat, že nedegenerované šikmo symetrické 2-formy neexistují v lichém-dimenzionálním prostoru. Všechny symplektické prostory stejné dimenze jsou symplektické izomorfní . Tyto skutečnosti vyplývají z Darbouxovy věty pro symplektické prostory. Myšlenka důkazu je následující. Zvažte nějaký vektor . Na základě nedegenerace existuje vektor takový, že $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ $\omega$ $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$

\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1

Uvažujme šikmý ortogonální doplněk k lineárnímu rozsahu V vektorů a . Lze ukázat, že se bude jednat o (2 n -2)-rozměrný podprostor S , který neprotíná c V a omezení na něj je nedegenerované. Proces tedy může pokračovat indukcí. U lichého prostoru proces končí na jednorozměrném podprostoru, na kterém je evidentně degenerovaný, takže předpoklad existence symplektické struktury byl nesprávný. Pro sudý prostor dostaneme základ $\mathbf {p_{1}}$ $\mathbf {q_{1))$ $\omega$ $\omega$

(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )

takové, že

\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0

kde je symbol Kronecker . Říká se tomu kanonický základ nebo Darbouxův základ . $\delta _{{ij}}$

V kanonickém základu má matrice symplektické formy formu

\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

kde je matice identity řádu n . je symplektická matice. $V}$ ${\displaystyle \Omega _{n))$

Struktura podprostorů

Uvažujme podprostor a jeho zkosený ortogonální doplněk . Kvůli nedegeneraci : $W\subset \mathbb {S}$ ${\displaystyle W^{\perp ))$ $\omega$

\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}

Kromě,

(W^{\perp })^{\perp }=W

Obecně se tyto podprostory prolínají. V závislosti na jejich vzájemné poloze se rozlišují 4 typy podprostorů:

Symplectic : . To platí tehdy a jen tehdy, když omezení na W není degenerované, takže taková definice symplektických podprostorů se shoduje s tou, která byla uvedena dříve. Ve vhodných Darbouxových souřadnicích má W tvar $W\cap W^{\perp }=0$ $\omega$

(p_{1},\tečky ,p_{k},0,\tečky ,0;~q_{1},\tečky ,q_{k},0,\tečky ,0),\,2k= \dim \,W

Izotropní : . Podprostor je izotropní právě tehdy, když je na něm shodně roven nule. Jakýkoli jednorozměrný podprostor je izotropní. Ve vhodných Darbouxových souřadnicích má W tvar $W\subset W^{\perp }$ $\omega$

(p_{1},\tečky ,p_{k},0,\tečky ,0;~0,\tečky ,0),\,k=\dim \,W

koizotropní : . W je koizotropní právě tehdy, když je nedegenerované na podílovém prostoru . Jakýkoli podprostor kodimenze 1 je koizotropní. Ve vhodných Darbouxových souřadnicích má W tvar $W^{\perp }\subset W$ $\omega$ ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp ))$

(p_{1},\tečky ,p_{n};~q_{1},\tečky ,q_{k},0,\tečky ,0),\,n+k=\dim \,W ,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Lagrangian : . W je Lagrangián právě tehdy, když je izotropní i koizotropní. Jakýkoli izotropní podprostor je vnořen do Lagrangianu a jakýkoli koizotropní podprostor obsahuje Lagrangian. Ve vhodných Darbouxových souřadnicích má W tvar $W^{\perp }=W$

(p_{1},\tečky ,p_{n};~0,\tečky ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Množina všech lagrangeovských podprostorů prostoru dimenze 2n tvoří varietu nazývanou lagrangeovský Grassmannian . Je difeomorfní k cosetové rozmanitosti unitární grupy s ohledem na ortogonální podgrupu , zatímco $\Lambda _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $\mathbb {O} _{n}$

\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2))

Příklady

Ve složitém prostoru lze pomocí vzorce definovat bilineární šikmo symetrickou formu $\mathbb{C}^n$

\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]

kde je hermitovská forma . Tato forma definuje symplektickou strukturu na zhmotnění prostoru .

\left[\cdot ,\cdot \right]

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))

\mathbb{C}^n

Pro jakýkoli prostor V existuje kanonická symplektická struktura na prostoru , kde je prostor duální k V. Skalární součin skew je definován pro základní vektory ve V a jejich konjugáty vzorcem $V\oplus V^{*}$ $V^*$

\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V

\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}

a rozšiřuje se na všechny ostatní vektory linearitou.

Viz také

Literatura

Arnold V. I., Givental A. B. Symplectic geometry . - 2. vyd. - Iževsk: RHD, 2000. - 168 s. — ISBN 5-7029-0331-5 . (nedostupný odkaz)
Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Fomenko A. T. Symplectic geometrie. Metody a aplikace . - M. : Nakladatelství MSU, 1988. - 414 s. (nedostupný odkaz)