Konvexní geometrie

Konvexní geometrie je odvětví geometrie , které studuje konvexní množiny , hlavně v euklidovském prostoru . Konvexní množiny přirozeně vznikají v mnoha oborech, včetně výpočetní geometrie , konvexní analýzy , kombinatorické geometrie , funkcionální analýzy , geometrie čísel , integrální geometrie , lineárního programování , teorie pravděpodobnosti .

Termín „konvexní geometrie“ se v kombinatorice používá také jako název jednoho z abstraktních modelů konvexních množin, z nichž jeden je ekvivalentní antimatroidům .

Historie

Příspěvky ke konvexní geometrii lze sledovat v Euklidově Principia . Přesnou definici konvexní křivky a povrchu podal Archimedes ve svém pojednání O kouli a válci .

Disciplína se stala samostatným odvětvím matematiky na konci 19. století, především díky práci Hermanna Brunna a Hermanna Minkowského pro prostory dimenzí dva a tři. Významná část jejich výsledků byla brzy zobecněna do prostorů vyšších dimenzí.

Význam směru pro aplikované problémy se projevil v polovině 20. století, kdy vývoj konvexní optimalizace (konvexního programování ) narazil na některá fakta o konvexních tělesech. Faktem je, že řada klasických nerovností a odhadů získaných na počátku 20. století pro libovolná konvexní tělesa příliš nezávisí (nebo vůbec nezávisí) na rozměru prostoru, to umožnilo vyhnout se „prokletí dimenze“ – tradiční problém v aplikované matematice, kdy složitost problému katastrofálně roste s nárůstem počtu proměnných [1] .

První komplexní přehled konvexní geometrie v euklidovském prostoru publikovali v roce 1934 Tommy Bonnesen a Werner Fenchel [2] . V roce 1993 vyšla pod redakcí Gruber and Wils ( německy Jörg Wills ) dvoudílná „Příručka konvexní geometrie“ včetně výsledků získaných ve 20. století [3] .   

Poznámky

  1. ↑ V. Yu.Protasov, Konvexní geometrie: od prací Minkowského k moderním optimalizačním problémům. Summer School "Modern Mathematics", Dubna, 2011. [1] Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
  2. ↑ Bonnesen, Fenykl, 2002 .
  3. ↑ Gruber, Wils, 1993 .

Odkazy