Bieberbachova hypotéza

Bieberbachova domněnka je dokázaný předpoklad učiněný v roce 1916 německým vědcem L. Bieberbachem ohledně horní hranice expanzních koeficientů univalentních funkcí v Taylorově řadě .

Označte — otevřený jednotkový kruh komplexní roviny: . $\Delta$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$

$S$ je množina všech funkcí analytických a univalentních v , které mají expanzi v Taylorově řadě v blízkosti nuly ve tvaru: $\Delta$ $f(z)$

f(z)=z+\součet _{{n=2}}^{{\infty }}c_{n}z^{n}.

Podle hypotézy, koeficienty , a pouze pro Koebe funkce formuláře $|c_{n}|\leqslant n$ $c_{n}=n$

k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{{i\theta }})^{2}}}.

Historie důkazu domněnky

1916 - byla předložena hypotéza. Bieberbach prokázal platnost domněnky pro . $n=2$
1923 - hypotéza pro . Důkaz Charlese Löwnera $n=3$ , pro důkaz byla vytvořena Löwnerova parametrická metoda .
1955 - důkaz pro . Autoři — Garabedyan $n=4$ , Schiffer. Metoda použitá v důkazu se nazývala Schifferova metoda.
1968, 1969 - dvě samostatné práce s důkazem domněnky pro - Roger N. Pederson, Mitsuru Ozawa . $n=6$
1972 - je dokázána domněnka pro - Pederson, Schiffer. $n=5$

1925 - Littlewood dokazuje, že pro všechny . $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ $n$
1951 - Bazilevich , Milin Isaak Moiseevich : vztah je dokázán . $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+{\mathrm {const))$
1965 - Milín: . $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$
1971 - Milin: navrhuje, že jím zkonstruovaná posloupnost logaritmických funkcionálu (Milinské funkcionály) není pozitivní pro žádnou funkci ze třídy S a poznamenává, že tato vlastnost znamená důkaz Bieberbachovy domněnky.
1972 – Carl FitzGerald: . $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$
1984 - důkaz správnosti Bieberbachovy hypotézy, autor - Louis de Branges .

Odkazy

Dohad Koepfa W. Bieberbacha, de Brangesovy a Weinsteinovy funkce a Askey-Gasperova nerovnost // The Ramanujan Journal, červen 2007, svazek 13, číslo 1–3, s. 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2