Duffin-Shafferova hypotéza

Duffinova-Schafferova domněnka je důležitou domněnkou v teorii metrických čísel , kterou navrhli R. Duffin a A. Schaeffer v roce 1941. [1] Uvádí, že pokud reálná funkce nabývá kladných hodnot, pak pro téměř všechny (s ohledem na Lebesgueovu míru ) nerovnost ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+))$ $\alpha$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}

má nekonečně mnoho řešení v prvočíslech ( ) tehdy a jen tehdy $p,q$ $q>0$

\sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q))=\infty ,

kde je Eulerova funkce . $\varphi (q)$

Vícerozměrný analog tohoto dohadu byl prokázán Vaughanem a Pollingtonem v roce 1990. [2] [3] [4]

Historie

Z Borel-Cantelliho lemmatu vyplývá, že pokud existují racionální aproximace, pak se řada diverguje. [5] Opačné tvrzení je podstatou této hypotézy.

Bylo získáno mnoho důkazů pro zvláštní případy domněnky Duffin-Schaeffer. V roce 1970 Paul Erdős zjistil, že domněnka je pravdivá, pokud existuje konstanta taková, že pro každé celé číslo buď , nebo . [2] [6] V roce 1978 Jeffrey Waaler posílil tento výsledek na případ . [7] [8] Nedávno Haynes, Pollington a Velani výsledek dále posílili [9] , domněnka je pravdivá, pokud existuje takové číslo , že řada $c>0$ $n$ $f(n)=c/n$ $f(n)=0$ $f(n)=O(n^{-1})$ $\varepsilon >0$

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty

V roce 2006 Beresnevich a Velani dokázali, že protějšek Duffin-Schaefferovy domněnky pro Hausdorffovu míru je ekvivalentní původní Duffin-Schaefferově domněnce, která je a priori slabší. Tento výsledek byl publikován v Annals of Mathematics . [deset]

V červenci 2019 Dimitris Koukoulopoulos a James Maynard oznámili důkaz této Duffin-Shafferovy domněnky. [jedenáct]

Poznámky

↑ RJ; Duffin. Khintchinův problém v metrické diofantické aproximaci // Duke Math . J. : deník. - 1941. - Sv. 8 , č. 2 . - str. 243-255 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00818-9 .
↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. Deset přednášek o rozhraní mezi analytickou teorií čísel a harmonickou analýzou . - 1994. - Sv. 84.
↑ AD; Pollington. K dimenzionální Duffinův –Schaefferův dohad // Matematika : deník. - 1990. - Sv. 37 . - S. 190-200 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/s0025579300012900 .
↑ Harman (2002) str. 69
↑ Harman (2002) str. 68
↑ Harman (1998) str. 27
↑ Katedra matematiky . (neurčitý) (nedostupný odkaz)
↑ Harman (1998) str. 28
↑ A. Haynes, A. Pollington a S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine
↑ Viktor; Beresněvič. Princip přenosu hmoty a Duffin-Schaefferova domněnka pro Hausdorffovy míry // Annals of Mathematics : journal . - 2006. - Sv. 164 . - str. 971-992 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . - arXiv : math/0412141 .
↑ D.; Koukoulopoulos. O domněnce Duffin–Schaeffer (neopr.) . - 2019. - arXiv : 1907.04593 .

Literatura

Harman, Glyn (1998). Metrická teorie čísel. Monografie London Mathematical Society. nová série. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
Harman, Glyn (2002). „Sto let normálních čísel“. V Bennett, MA; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Průzkumy v teorii čísel: Referáty z tisícileté konference o teorii čísel. Natick, MA: A. K. Peters. str. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

Odkazy

Kvantový článek o domněnce Duffin-Schaeffer. Archivováno 14. září 2019 na Wayback Machine