Borel-Cantelliho Lemma

Borel-Cantelliho lemma v teorii pravděpodobnosti je výsledkem týkajícím se nekonečného sledu událostí. Lema se často používá k prokázání limitních vět. Lema je obvykle rozděleno do dvou tvrzení, nazývaných první a druhé Borel-Cantelliho lemma.

První lemma

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a posloupnost událostí . Označit $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\right)

Pak pokud řada konverguje, pak . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

Druhé lemma

Pokud jsou všechny události společně nezávislé a řada se liší, pak . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}} (A)=1$

Poznámka

V prvním Borel-Cantelliho lemmatu není nezávislost událostí vyžadována.

Viz také

Zákon nuly nebo jedničky ;
Věta o nekonečné opici ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Kuratowski konvergence

Odkazy

Prokhorov, AV (2001), Borel-Cantelliho lemma , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4