Zákon nuly nebo jedničky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. listopadu 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Zákon nuly nebo jedničky je tvrzení v teorii pravděpodobnosti , že jakákoli zbytková událost , tedy událost, jejíž výskyt je určen pouze libovolně vzdálenými prvky posloupnosti nezávislých náhodných událostí nebo náhodných proměnných, má pravděpodobnost nula nebo jedna. Zákon objevil Andrej Nikolajevič Kolmogorov , proto je někdy po něm pojmenován.

Formulace

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a na něm definována posloupnost nezávislých náhodných proměnných (ne nutně identicky rozdělených). Nechť je jeho reziduální -algebra , tzn. $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{{m=1}}^{\infty }\bigcup \limits _{{n\geqslant m}}{\ mathcal {F}}_{n}\right),

kde je -algebra generovaná náhodnou proměnnou . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Pak když , tak nebo . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\mathbb {P}}(A)=0$ ${\mathbb {P}} (A)=1$

Jinými slovy, je reziduální událost, pokud je měřitelná s ohledem na -algebru generovanou náhodnými proměnnými , ale nezávisle na jakékoli konečné podmnožině těchto proměnných. Podle věty má taková událost pravděpodobnost nula nebo jedna. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

Příklad

Nechť je posloupnost nezávislých náhodných proměnných. Pak série $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }X_{n}

konverguje nebo diverguje téměř jistě , protože žádná konečná podmnožina členů řady nemůže změnit její konvergenci. Pokud jsou všechny členy řady považovány za kladné, pak událost „řada konverguje k hodnotě menší než 1“ není zbytková, protože závisí na hodnotě prvního členu řady. .

Viz také

Odkazy

Ito. Pravděpodobnostní procesy. Vydání I. 1960 str. 34 "§ 9. Zákon nuly nebo jedničky"
4. Zákon velkých čísel. Borel-Cantelliho lemma. Zákon nuly a jedné. Konvergence součtů nezávislých náhodných veličin. / A.V. Kolesnikov. PŘEDNÁŠKY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI