Erdősova domněnka o aritmetických posloupnostech

Erdősova domněnka o aritmetických posloupnostech [1] je předpoklad v aditivní kombinatorice formulovaný Palem Erdősem , podle kterého, pokud se součet převrácených hodnot kladných přirozených čísel určité množiny rozchází, pak množina obsahuje libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti .

Formálně, pokud:

\sum _{{n\in A}}{\frac {1}{n}}=\infty

tedy velké množství $A$ , pak obsahuje aritmetický průběh libovolné předem stanovené délky. $A$

Erdős přislíbil svého času odměnu 3 tisíce amerických dolarů za prokázání hypotézy [2] , od roku 2008 byla stanovena cena 5 tisíc amerických dolarů [3] .

Vztah k jiným nárokům

Důsledky hypotézy

Erdősova domněnka je zobecněním Szemerediho věty (protože řada se rozchází jako harmonická ), stejně jako Green-Tao věty (protože součet , kde sumace je nad prvočísly, se také rozchází [4] ). $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn))={\frac {1}{k))\left({\sum \limits _{n =1}^{\infty }{\frac {1}{n))}\right)$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$

Výroky, z nichž hypotéza vyplývá

S ohledem na ekvivalenci s nesrovnalostí lze Erdősovu domněnku dokázat , pokud se prokáže , že . ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k))(4^{t)))))$ $\forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\ varepsilon }}}\right)$

V tuto chvíli však bylo prokázáno pouze [5] , že , kde , a také v konkrétním případě , že . $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n)))^{c_{k))))\right)$ $c_{k}=2^{-2^{k+9))$ $k=3$ $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N))}{\log {N))))\right)$

Poznámky

↑ Hypotéza je někdy zaměňována s hypotézou Erdős-Turan.
↑ Bollobas, Bela . To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics (anglicky) // American Mathematical Monthly : journal. - 1988. - březen ( roč. 105 , č. 3 ). — S. 233 . — .
↑ Soifer, Alexander (2008); Matematická omalovánka: Matematika barvení a barevný život jejích tvůrců; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
↑ M. Aigner, G. Ziegler, "Důkazy z knihy" - M. "Mir", 2006, s. 13
↑ Shkredov, 2006 , s. 115-116.

Odkazy

P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Archivováno 28. dubna 2016 na Wayback Machine , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres ., Exp.2. Ne. 24, str. 7,
P. Erdős: Problémy teorie čísel a kombinatoriky, Proc. Šestý Manitoba Conf. na Num. Math., Congress Numer. XVIII (1977), 35-58.
P. Erdős: O kombinatorických problémech, které bych nejraději viděl vyřešené, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007/BF02579174
I. D. Shkredov. Szemerediho věta a problémy aritmetických posloupností // Uspekhi Mat. - 2006. - T. 61, č.p. 6(372). - S. 111-178. - doi : 10,4213/rm5293 .