Erdős-Grahamova hypotéza

Erdős-Grahamova domněnka je domněnka v kombinatorické teorii čísel týkající se problému dělení sady celých čísel větších než jedna do konečného počtu podmnožin, z nichž jedna může být použita k vytvoření egyptského zlomku reprezentujícího jednotku. Erdős a Graham se domnívali, že pro jakékoli zabarvení celých čísel větších než jedna existuje konečná monochromatická podmnožina těchto celých čísel, takže: $r>0$ $r$ $S$

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

a maximální prvek množiny může být omezen na hodnotu s nějakou konstantou nezávislou na . Je známo, že pro správnost tohoto tvrzení je nutné, aby nebylo méně než číslo . $S$ $b^r$ $b$ $r$ $b$ $E$

Hypotézu potvrdil Ernest S. Croot , III v roce 2003 , odhad je velmi vysoký -- počet by neměl být vyšší než . Krootův výsledek vyplývá z obecnější věty, která tvrdí existenci reprezentace jednoty ve tvaru egyptského zlomku pro množiny hladkých čísel v intervalech tvaru , kde obsahuje dostatečně velký počet čísel, jejichž součet reciprokých je minimálně šest. Erdős-Grahamova domněnka je odvozena z tohoto výsledku nalezením intervalu, ve kterém je součet převrácených hodnot všech hladkých čísel alespoň . Pokud jsou tedy celá čísla -barevná, musí existovat monochromatická podmnožina , splňující podmínku Krootovy věty. $b$ $e^{167000}$ $C$ $[X,X^{1+\delta }]$ $C$ $6r$ $r$ $C$

Poznámky

Odkazy

Croot, Ernest S., III. Jednotkové zlomky. - University of Georgia , Atény, 2000.
Croot, Ernest S., III. O barevném dohadu o jednotkových zlomcích // Annals of Mathematics . - 2003. - T. 157 , č. 2 . - S. 545-556 . doi : 10.4007 / anals.2003.157.545 . - arXiv : math.NT/0311421 .
Pal Erdős , Ronald L. Graham . Staré a nové problémy a výsledky v kombinatorické teorii čísel // L'Enseignement Mathématique . - 1980. - T. 28 . - S. 30-44 .
Webová stránka Ernieho Croota byla archivována 9. dubna 2009 na Wayback Machine