Erdős-Straussova domněnka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. března 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Erdős-Straussova hypotéza  je číselně teoretická hypotéza, podle níž lze pro všechna celá čísla racionální číslo reprezentovat jako součet tří alikvotních zlomků (zlomků s jednotkou v čitateli), to znamená, že existují tři kladná celá čísla. , a tak, že:

.

Formuloval v roce 1948 Pal Erdős a Ernst Strauss [1] .

Počítačová hrubá síla ověřila hypotézu pro všechna čísla až do [2] , ale důkaz pro všechny zůstává od roku 2015 otevřeným problémem .

Omezení

Celá čísla , a nemusí být různá, ale pokud se liší, tvoří egyptský zlomek představující číslo . Například existují dvě řešení:

.

Omezení kladnosti čísel je zásadní , protože pokud by byla povolena záporná čísla, problém by se stal triviálním. Také, pokud je kompozit , pak řešení pro lze okamžitě najít z řešení pro nebo . Z tohoto důvodu nejmenší protipříklad, pokud existuje, musí být prvočíslo a musí být shodný s členem jedné ze šesti nekonečných aritmetických posloupností modulo 840 [3] .

Pro , nezáleží na tom, zda všechna tři čísla , a musí být různá nebo ne - pokud existuje řešení pro jakákoli tři celá čísla , a , pak existuje řešení s různými hodnotami. Pro tento případ však existuje unikátní řešení až do permutace členů součtu.

Historie

Hledání rozšiřování racionálních čísel na součty alikvotních zlomků se datuje od matematiků starověkého Egypta , kde byly egyptské zlomky používány k reprezentaci zlomkových veličin. Egypťané vynalezli tabulky, jako je tabulka 2/n z Ahmesova papyru , která obsahuje rozšíření 2/ n zlomků , z nichž většina obsahuje dva nebo tři členy. Egyptské zlomky obvykle obsahují další omezení, že všechny zlomky musí být odlišné, ale pro Erdős-Straussovu domněnku na tom nezáleží – pokud lze 4/ n reprezentovat maximálně třemi alikvotními zlomky, lze toto číslo vyjádřit také jako součet ne více než tři různé alikvotní frakce.

Nenásytný algoritmus pro egyptské zlomky , popsaný poprvé ve Fibonacci 1202 v jeho knize abakus , nachází faktorizaci, ve které je každý následující člen největším alikvotním zlomkem, který nepřesahuje zbytek reprezentace (původní zlomek mínus již vypočtené podmínky). Pro zlomky ve tvaru 2/ n nebo 3/ n používá chamtivý algoritmus maximálně dva nebo tři členy. Lze ukázat, že číslo ve tvaru 3/ n má dvoudílný rozvoj právě tehdy, když n má faktor shodný s 2 modulo 3, a ve zbývajících rozšířeních jsou zapotřebí tři zlomky [4] .

Pro čitatele 2 a 3 je tedy zcela vyřešena otázka, kolik členů v součtu egyptského zlomku je zapotřebí, a zlomky tvaru 4/ n jsou prvním případem, pro který zbývá potřebný počet členů součtu. neznámý. Nenásytný algoritmus dává součty dvou, tří nebo čtyř členů v závislosti na hodnotě n modulo 4. Pokud je n shodné s 1 modulo 4, poskytuje algoritmus nenásytnosti čtyřfaktorovou faktorizaci. V nejhorším případě tedy expanze 4/ n musí mít tři nebo čtyři členy. Erdős-Straussova domněnka uvádí, že v tomto případě, stejně jako v čitateli 3, je maximální požadovaný počet členů v rozšíření tři.

Porovnání modulů

Vynásobením obou stran rovnice 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z nxyz dostaneme rovnici 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) [5] . Jako algebraická rovnice s celočíselnými proměnnými je rovnice příkladem diofantické rovnice . Hasseův princip pro diofantické rovnice říká, že celočíselné řešení diofantické rovnice lze získat jako kombinaci celočíselných řešení modulo všech možných prvočísel . Princip dělá jen málo pro Erdős-Straussovu domněnku, protože rovnice 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) je snadno řešitelná pro jakoukoli kongruenci modulo s libovolným prvočíslem. Modulární aritmetika je však důležitým nástrojem pro studium dohadů.

Pro hodnotu n , která splňuje některé kongruence , lze najít expanzi pro 4/ n přímo z rovnice. Například pro n ≡ 2 (mod 3) má 4/ n rozklad

Zde každý ze tří jmenovatelů n , ( n − 2)/3 + 1 a n (( n − 2)/3 + 1) je polynom v n a každý bude celé číslo, když n ≡ 2 (mod 3). Chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky najde řešení tří nebo méně členů, pokud n není 1 nebo 17 (mod 24), ale případ n ≡ 17 (mod 24) je pokryt případem 2 (mod 3), takže jediný případ pro které obě metody nedávají expanzi na tři nebo méně členů, je to případ n ≡ 1 (mod 24).

Pokud by bylo možné najít řešení jako výše pro jiný modul a vytvořit tak ucelený krycí systém srovnání, problém by byl vyřešen. Nicméně, jak ukázal Mordell [3] , rovnice poskytující řešení pro n kongruentní k r modulo p mohou existovat pouze pro r , které není kvadratickým zbytkem mod p . Například 2 není kvadratický zbytek mod 3, takže existence identity pro proměnné n kongruentní s 2 modulo 3 není v rozporu s Mordellovým výsledkem, ale 1 je kvadratický zbytek mod 3, takže nemůže existovat podobná identita pro hodnoty n , které jsou shodné s 1 modulo 3.

Mordell uvedl identity, které poskytují třífaktorový rozklad 4/ n pro případy n ≡ 2 (mod 3) (jak je uvedeno výše), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 nebo 3 (mod 5 ), ≡ 3, 5 nebo 6 (mod 7). Tyto identity pokrývají všechny případy, ve kterých čísla nejsou kvadratické zbytky v uvedených bázích. Pro velké báze však nejsou známy všechny nekvadratické zbytky, které mohou být pokryty vztahy tohoto typu. Z Mordellových identit lze odvodit, že existují řešení pro všechna n , možná kromě 1, 121, 169, 289, 361 nebo 529 modulo 840. 1009 je nejmenší prvočíslo, které není pokryto systémem kongruence. Kombinací velkých modulových identit Webb (a další) ukázal, že počet zlomků se jmenovatelem v intervalu [1, N ], který by mohl sloužit jako protipříklad k domněnce, má tendenci k nule, protože N jde do nekonečna [6]. .

Na rozdíl od Mordellových výsledků omezujících použití identit existuje určitá naděje na použití modulární aritmetiky k prokázání domněnky. Žádné prvočíslo nemůže být čtverec, takže podle Hasse-Minkowskiho teorému platí , že pokud p  je prvočíslo, pak existuje větší prvočíslo q takové, že p není kvadratický zbytek mod q . Jedním z přístupů k dokazování věty je najít pro každé prvočíslo p větší prvočíslo q a kongruenci, která řeší problém 4/ n pro n ≡ p (mod q ). Pokud by se to podařilo, bylo by dokázáno, že žádné prvočíslo by nebylo protipříkladem, a tak by se dohad dokázal.

Výpočetní ověření

Různí autoři provedli přímé hledání protipříkladu. Tato hledání lze značně urychlit, pokud budeme uvažovat pouze prvočísla, která nejsou pokryta známými modulovými srovnávacími rovnicemi [7] . Hledání provedená Allanem Swettem vedla k závěru, že hypotéza platí pro všechna n až 10 14 [2] .

Počet řešení

Počet různých řešení úlohy pro 4/ n , jako funkce n , byl také nalezen počítačovým vyhledáváním pro malé n , a ukázalo se, že funkce roste poněkud nepravidelně. Počínaje n = 3 je počet různých řešení s různými jmenovateli [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

I pro velké n existují případy s relativně malým počtem řešení. Takže pro n = 73 existuje pouze sedm řešení.

Elsholtz a Tao [9] ukázali, že průměrný počet řešení úlohy rozkladu 4/ n (zprůměrovaný přes počet prvočísel do n ) je ohraničen shora polylogaritmicky v n . U některých dalších diofantických problémů je možné dokázat, že řešení existuje nalezením asymptotické dolní meze pro počet řešení, ale tento druh důkazu existuje hlavně pro problémy s polynomiálním růstem počtu řešení, takže Elsholtz a Výsledek Tao činí tuto možnost nepravděpodobnou [10] . Elsholtzův a Taoův důkaz vazby na počet řešení je založen na Bombieriho-Vinogradovově větě , Brunově-Tichmarshově větě a systému modulových rovností platných pro n kongruentních s − c nebo −1/ c modulo 4 ab , kde aab  jsou dvě kladná celá čísla s druhým prvním číslem a c je libovolný lichý  faktor a + b . Například nastavením a = b = 1 získáme jednu z Mordellových identit, která platí pro n ≡ 3(mod 4).

Řešení v záporných číslech

Omezení pozitivity a je zásadní. Za předpokladu záporných čísel lze řešení získat triviálně pomocí následujících dvou identit:

a

Pro liché n existuje řešení obsahující tři členy, z nichž jeden je záporný [11] :

Zobecnění

Zobecněná verze domněnky říká, že pro každé kladné k existuje číslo N takové, že pro libovolné n ≥ N existuje řešení rovnice k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z v kladných celých číslech . Verzi této domněnky pro k = 5 navrhl Václav Sierpinski a plnou verzi domněnky má na svědomí Andrzej Schinzel [12] .

I když zobecněná hypotéza selže pro nějakou hodnotu k , počet zlomků pro k / n s n mezi 1 a N , které nemají tříčlennou expanzi, musí růst sublineárně jako funkce N [6] . Zejména pokud je Erdős-Straussova domněnka sama o sobě (případ k = 4) nepravdivá, pak počet protipříkladů roste pouze sublineárně. Ještě silnější, pro jakékoli pevné k , pouze sublineární počet hodnot n vyžaduje více než dva členy v expanzi egyptského zlomku [13] . Zobecněná verze domněnky je ekvivalentní tvrzení, že počet nerozložitelných zlomků není jen sublineární, ale omezený.

Je-li n liché, pak analogicky s problémem rozkladu na liché egyptské zlomky se lze ptát na řešení k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z , ve kterých x , y a z jsou různá kladná lichá čísla. Je známo, že řešení v tomto případě vždy existují pro k = 3 [14] .

Poznámky

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . Nejstarší publikace je Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Allan Swett . Erdos-Strausova domněnka. (nedostupný odkaz) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Eppstein, 1995
  5. ↑ Viz například Sander, 1994 pro jednoduchou formulaci diofantické rovnice za předpokladu, které z čísel x , y nebo z je dělitelné n .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; Li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Kiss, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ OEIS sekvence A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ O počtu řešení k 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 Archivováno 4. ledna 2015 na Wayback Machine , Terence Tao, „Co je nového“, 7. července 2011.
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpiński, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Literatura

Odkazy