Brun-Tichmarshova věta

Brun-Tichmarshův teorém je výrok v analytické teorii čísel , který definuje horní hranici pro distribuci aritmetických průběhů prvočísel . Nese jméno matematiků Vigga Bruna a Edwarda Charlese Tichmarshe .

Věta říká, že pokud se rovná počtu prvočísel srovnatelných s modulo v , pak: $\pi (x;q,a)$ $p$ $A$ $q$ $p\leqslant x$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)))

pro všechny . $q<x$

Historie

Věta byla prokázána pomocí sítovacích metod Montgomery a Vaughn v roce 1973 [1] . Dřívější výsledek Bruna a Tichmarshe je slabší verzí této nerovnosti (s dalším faktorem ). $1+o(1)$

Buffové

Pokud je relativně malý, to znamená , pak existuje lepší vazba: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8)))))

To ukázal Motohashi [2] , který použil bilineární strukturu ve zbytkovém členu Selbergova síta , který sám objevil. Později se myšlenka využití struktur ve zbytku síta, díky rozšířením kombinatorického síta od H. Iwaniece , rozvinula na hlavní metodu analytické teorie čísel.

Srovnání s Dirichletovou větou

Na rozdíl od Brun-Tichmarshovy věty poskytuje Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické progresi asymptotický odhad, který lze vyjádřit ve tvaru:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ log x}}\right)}\right)

ale tento odhad lze dokázat pouze za přísnějších omezení pro konstantu , a to je Siegel-Wolfitzova věta . ${\displaystyle q<(\log x)^{c))$ $C$

Literatura

Yoichi Motohashi. Sítové metody a teorie prvočísel. - Tata IFR a Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. Aplikace sítových metod v teorii čísel. - Cambridge University Press, 1976. - S. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Encyklopedie matematiky. — Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. Velké síto // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .