Řecko-latinské náměstí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. prosince 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Řecko-latinský čtverec nebo Eulerův čtverec je N × N čtverec, v jehož každé buňce jsou 2 čísla od 1 do N, takže jsou splněny následující podmínky:

1. V každém řádku a sloupci se každá číslice vyskytuje jednou na prvním místě v páru a jednou na druhém.
2. Každá číslice je spárována s každou další číslicí a jednou sama se sebou.

Takové čtverce, jak název napovídá, úzce souvisí s latinskými čtverci, pro které je splněno pouze první pravidlo a v každé buňce je pouze jedno číslo. Samotný název těchto a dalších čtverců pochází od Eulera , který místo čísel používal řecká a latinská písmena.

Na řecko-latinský čtverec lze nahlížet jako na superpozici dvou ortogonálních latinských čtverců .

Příklad

A b C d b A d C C d A b d C b A

α β γ 5 γ 5 α β 5 γ β α β α 5 γ

Řecko-latinský čtverec získaný překrytím dvou latinských čtverců výše

aα	bp	cγ	d5
bγ	a5	da	cp
c5	dγ	ap	bα
dp	ca	b5	aγ

Historie

Studiem řecko-latinských čtverců Euler snadno zjistil, že čtverce druhého řádu neexistují, pak sestavil čtverce řádu 3, 4 a 5. Nemohl najít čtverec řádu 6 a Euler se domníval, že čtverce s řádem formuláře neexistuje (například objednávka 6, 10, 14 atd.). V roce 1901 byla Eulerova domněnka prokázána francouzskému matematikovi Gastonu Tarrymu , který prošel všemi možnými variacemi takového čtverce. V roce 1959 však hypotézu vyvrátili dva indičtí matematici – R. K. Bowes a S. S. Srikhande, kteří pomocí počítače objevili čtverec řádu 22, a americký matematik E. T. Parker, který našel čtverec řádu 10.

00	47	osmnáct	76	29	93	85	34	61	52
86	jedenáct	57	28	70	39	94	45	02	63
95	80	22	67	38	71	49	56	13	04
59	96	81	33	07	48	72	60	24	patnáct
73	69	90	82	44	17	58	01	35	26
68	74	09	91	83	55	27	12	46	třicet
37	08	75	19	92	84	66	23	padesáti	41
čtrnáct	25	36	40	51	62	03	77	88	99
21	32	43	54	65	06	deset	89	97	78
42	53	64	05	16	dvacet	31	98	79	87

Později byly objeveny čtverce 14., 18. atd. řádů. Ve společném dokumentu (duben 1959) tři výše uvedení objevitelé ukázali, že existují řecko-latinské čtverce jakéhokoli řádu kromě 2. a 6.

Problémy o řecko-latinských čtvercích

Sám Euler položil problém nalezení čtverce řádu 6 takto:

V 6 plucích je 36 důstojníků 6 různých hodností. Je nutné je umístit do čtverce tak, aby všichni důstojníci v každém sloupci a linii byli různých hodností a z různých pluků. Jak již bylo řečeno, tento problém je neřešitelný.

Další výzva zní takto:

musíte rozložit 16 karet (jacky, královny, krále a esa různých barev) tak, aby v každém řádku a sloupci byla jedna karta od každé barvy a hodnoty. Tento problém byl znám ještě před Eulerem. Jejím řešením je libovolný řecko-latinský čtverec řádu 4. Pro tento problém existují i ​​varianty, ve kterých je navíc požadováno, aby byly stejné požadavky splněny na hlavních úhlopříčkách. V jiné variantě se požaduje, aby barvy obleků byly v šachovnicovém vzoru. Všechny tyto problémy mají řešení.

Aplikace řecko-latinských čtverců

Pokud existuje systém, na který působí 4 různé parametry (například dopad N různých reklam na populaci N různých věkových, sociálních a etnických skupin), které mohou nabývat N hodnot, musíme uvažovat řecký -Latinský čtverec řádu N. Pak budou parametry odpovídat řadě , sloupci, prvnímu a druhému číslu. Je tedy možné provádět experimenty, místo aby (v případě úplného výčtu možností)