Grupoid (teorie kategorií)

Grupoid v teorii kategorií je kategorie, ve které jsou všechny morfismy izomorfismy. Na grupoidy lze nahlížet jako na zobecnění skupin : kategorie odpovídající skupině má právě jeden objekt a jednu šipku pro každý prvek z , složení šipek je dáno jako násobení odpovídajících prvků ve skupině, přičemž každá šipka je izomorfismus; množinu šipek grupoidu lze tedy považovat za nějakou množinu s částečně definovanou operací binárního násobení, takže pro každý prvek existuje levá a pravá inverze a také levá a pravá jednotka násobením. $G$ $G$ $G$

Grupoidy přirozeně nahrazují grupy symetrie v teorii kategorií a vznikají při klasifikaci tříd izomorfních objektů.

Každá kategorie, která je skupinou, je grupoid. Pro libovolnou kategorii je grupoid podkategorií , jejíž objekty se shodují s objekty a morfismy jsou všechny možné izomorfismy v . $C$ $D\hookrightarrow C$ $C$ $C$

Pro topologický prostor spojený s cestami je jeho základní grupoid definován jako 2-kategorie , jejíž objekty jsou všechny body od a šipky od do odpovídají všem možným (geometrickým) cestám od do : $X$ $\Pi _{1}(X)$ $X$ $x\in X$ $y\v X$ $X$ $y$

f\dvojtečka [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y

Tyto dvě funkce a dávají stejnou cestu, pokud existuje , tak nebo . Složení šipek je dáno složením cest: $F$ $G$ $s:[0;1]\až [0;1]$ $f=g\circs$ $g=f\circs$

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{ případy}}

2-morfismus od do je homotopie od do . Fundamentální grupoid je kategorizací fundamentální grupy . Jeho výhodou je, že není vyžadována volba označeného bodu v prostoru, takže odpadají problémy s nekanonickým izomorfismem základních grup v různých bodech nebo s prostory, které mají několik spojených komponent. Základní smyčková grupa z bodu vzniká jako grupa 2-izomorfních automorfismů objektu . $F$ $G$ $F$ $G$ $x\in X$ $x\in \Pi _{1}(X)$

Kategorie vektorových svazků hodnosti nad kontrahovatelným prostorem s nedegenerovaným zobrazením přirozeně tvoří grupoid; V tomto ohledu je představen koncept djerba (což je konkrétní případ stacku ), což je struktura na kategorii snopů daného typu. Gerby jsou geometrické objekty klasifikované podle kohomologických skupin , kde je svazek skupin na . Tento koncept je zvláště důležitý v případě neabelských skupin . $n$ $H^{2}(X, {\mathcal {G}})$ ${\mathcal {G}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

Literatura

McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .