Desetinný logaritmus

Logaritmus se základem 10 je logaritmus se základem 10. Jinými slovy, logaritmus se základem 10 čísla je řešením rovnice $b$ $10^{x}=b.$

Skutečný dekadický logaritmus čísla existuje if ( komplexní dekadický logaritmus existuje pro všechny ). Označuje jej mezinárodní norma ISO 31-11 . Příklady: $b$ $b>0$ $b\neq 0$ $\lg \,b$

\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2

\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3

V zahraniční literatuře, stejně jako na klávesnici kalkulaček , existují další zápisy pro dekadický logaritmus: , a je třeba mít na paměti, že první 2 možnosti mohou platit i pro přirozený logaritmus . $\operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10}$

Algebraické vlastnosti

Následující tabulka předpokládá, že všechny hodnoty jsou kladné [1] :

	Vzorec	Příklad
Práce	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4$
Podíl dělení	$\lg \!\left({\frac {x}{y))\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Stupeň	$\lg(x^{p})=p\lg(x)$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7$
Vykořenit	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Je zřejmé zobecnění výše uvedených vzorců na případ, kdy jsou povoleny záporné proměnné, například:

\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),

\lg \!\left|{\frac xy}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),

Vzorec pro logaritmus součinu lze snadno zobecnit na libovolný počet faktorů:

\lg(x_{1}x_{2}\tečky x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\tečky +\lg(x_{n})

Výše uvedené vlastnosti vysvětlují, proč použití logaritmů (před vynálezem kalkulaček) značně usnadnilo výpočty. Například násobení vícehodnotových čísel pomocí logaritmických tabulek bylo provedeno podle následujícího algoritmu: $x, y$

Najděte logaritmy čísel v tabulkách . $x, y$
Přidejte tyto logaritmy a získáte (podle první vlastnosti) logaritmus součinu . $x\cdot y$
Pomocí logaritmu součinu najděte v tabulkách samotný součin.

Dělení, které je bez pomoci logaritmů mnohem pracnější než násobení, bylo provedeno podle stejného algoritmu, jen se sčítáním logaritmů nahrazeným odečítáním . Podobně byla provedena exponenciace a extrakce kořenů .

Vztah mezi desítkovými a přirozenými logaritmy [2] :

\ln x\cca 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\cca 0{,}43429\ \ln x

Znaménko logaritmu závisí na tom, zda je číslo logaritmické: pokud je větší než 1, je logaritmus kladný, je-li mezi 0 a 1, pak je záporný. Příklad:

\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{{-2}}\krát 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\přibližně -2+0 {,}079181=-1{,}920819

Aby se akce sjednotily s kladnými a zápornými logaritmy, byla celá část ( charakteristika ) druhého logaritmu nahoře podtržena:

\lg \,0{,}012\cca -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181

Mantisa logaritmu, vybraná z tabulek, je u tohoto přístupu vždy kladná.

Funkce dekadického logaritmu

Uvažujeme-li logaritmické číslo jako proměnnou, dostaneme funkci dekadického logaritmu: Je definován pro všechny Rozsah hodnot: . Graf této křivky se často nazývá logaritmus [3] . $y=\lg \,x.$ $x>0.$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$

Funkce je monotónně rostoucí, spojitá a diferencovatelná , kdekoli je definována. Jeho derivace je dána vzorcem:

{\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}

Osa y je svislá asymptota , protože: $(x=0)$

\lim _{{x\to 0+0}}\lg \,x=-\infty

Aplikace

Před vynálezem kompaktních elektronických kalkulaček v 70. letech 20. století byly pro výpočty široce používány logaritmy se základnou 10. Stejně jako jakékoli jiné logaritmy umožnily značně zjednodušit a usnadnit časově náročné výpočty, násobení nahradilo sčítáním a dělení odečítáním; umocňování a extrakce kořenů byly podobně zjednodušeny . Ale dekadické logaritmy měly oproti logaritmům s jiným základem výhodu: celočíselnou část logaritmu čísla ( logaritmická charakteristika ) lze snadno určit. $X$ $[\lg x]$

Jestliže , pak 1 je menší než počet číslic v celé části čísla . Například je hned zřejmé, co je v intervalu . $x\geqslant 1$ $[\lg x]$ $X$ $\lg 345$ $(2,3)$
Je-li , pak se nejbližší celé číslo k menší straně rovná celkovému počtu nul před první nenulovou číslicí (včetně nuly před desetinnou čárkou) se znaménkem mínus. Například je v intervalu . $0<x<1$ $\lg x$ $X$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

Navíc, když posunete desetinnou čárku v čísle po číslicích, hodnota desetinného logaritmu tohoto čísla se změní na Například: $n$ $n.$

\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3

Z toho vyplývá, že pro výpočet dekadických logaritmů stačí sestavit tabulku logaritmů pro čísla v rozsahu od do [4] . Takové tabulky se od 17. století vyráběly ve velkém a sloužily jako nepostradatelný výpočetní nástroj pro vědce a inženýry. $jeden$ $deset$

Protože používání logaritmů pro výpočty s nástupem výpočetní techniky téměř přestalo, je dnes dekadický logaritmus z velké části nahrazen logaritmem přirozeným [5] . Zachovává se především v těch matematických modelech, kde se historicky zakořenil – např. při konstrukci logaritmických měřítek .

Desetinné logaritmy pro čísla ve tvaru 5 × 10 C

Číslo	Logaritmus	Charakteristický	Mantisa	Záznam
n	log( n )	C	M = lg( n ) − C
5 000 000	6 698 970...	6	0,698 970...	6 698 970...
padesáti	1 698 970...	jeden	0,698 970...	1 698 970...
5	0,698 970...	0	0,698 970...	0,698 970...
0,5	−0,301 029...	−1	0,698 970...	1 698 970...
0,000 005	−5 301 029...	−6	0,698 970...	6 698 970...

Všimněte si, že všechna čísla v tabulce mají stejnou mantisu , protože: $n$ $M$

\lg(n)=\lg \left(x\krát 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x )+C

kde je významná část čísla . $1<x<10$ $n$

Historie

První tabulky dekadických logaritmů publikoval v roce 1617 oxfordský profesor matematiky Henry Briggs pro čísla od 1 do 1000, s osmi (později čtrnácti) číslicemi. Proto se v zahraničí dekadickým logaritmům často říká brigy . V těchto a následujících vydáních tabulek však byly nalezeny chyby. První neomylné vydání založené na tabulkách Georga Vegy ( 1783 ) se objevilo až v roce 1852 v Berlíně ( Bremikerovy tabulky ) [6] .

V Rusku byly první tabulky logaritmů publikovány v roce 1703 za účasti L. F. Magnitského [7] . Několik sbírek tabulek logaritmů bylo zveřejněno v SSSR [8] :

Bradis V. M. Čtyřhodnotové matematické tabulky. M.: Drop obecný, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Bradisovy tabulky, publikované od roku 1921, se používaly ve vzdělávacích institucích a v inženýrských výpočtech, které nevyžadují velkou přesnost. Obsahovaly mantisy dekadických logaritmů čísel a goniometrické funkce , přirozené logaritmy a některé další užitečné výpočetní nástroje.
Vega G. Tabulky sedmimístných logaritmů, 4. vydání, M.: Nedra, 1971. Profesionální sbírka pro přesné výpočty.

Literatura

Teorie logaritmů

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . - ed. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - ed. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.

Historie logaritmů

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu . - M .: Nauka, 1987. - T.I. Aritmetika. Algebra. Analýza. — 432 s.
Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Uspensky Ya. V. Esej o historii logaritmů. - Petrohrad: Vědecké nakladatelství, 1923. - 78 s.

Odkazy

Desetinné (Brigovy) logaritmy. (Angličtina)

Poznámky

↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 187..
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 189..
↑ Logaritmická funkce. // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 94-100.
↑ Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu, 1987 , s. 406..
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 62..
↑ Gnedenko B. V. Eseje o dějinách matematiky v Rusku, 2. vydání. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66 .. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Logaritmické tabulky // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 1151055638