Riemannův problém o rozpadu libovolné diskontinuity

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. března 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Riemannův problém rozpadu libovolné diskontinuity je problém konstrukce analytického řešení nestacionárních rovnic mechaniky kontinua , jak je aplikován na rozpad libovolné diskontinuity [1] . Kompletně řešeno v omezeném okruhu speciálních případů - pro rovnice dynamiky plynů ideálního plynu a některé přesnější aproximace (tzv. plyn s dvoučlennou stavovou rovnicí) a rovnice teorie mělké vody . Řešení rovnic magnetické dynamiky plynů lze sestrojit zjevně až do potřeby numerického řešení jedné poměrně komplikované obyčejné diferenciální rovnice.

Inscenace

Řeší se jednorozměrný problém rozpadu diskontinuity — to znamená, že se předpokládá, že před počátečním časovým okamžikem vzniknou dvě oblasti prostoru s různými hodnotami termodynamických parametrů (pro dynamiku plynů je to hustota, rychlost, a tlak plynu) byly odděleny tenkou přepážkou a v počátečním okamžiku je přepážka odstraněna. Je potřeba zkonstruovat řešení (tedy závislost všech termodynamických parametrů na čase a souřadnicích) pro libovolné počáteční hodnoty proměnných. $t=0$

Řešením problému rozpadu libovolné diskontinuity je určení plyno-dynamického proudění, ke kterému dochází při . Jinými slovy, mluvíme o řešení Cauchyho úlohy pro rovnice dynamiky plynů , ve které jsou počáteční podmínky dány ve formě libovolné diskontinuity popsané výše. $t>0$

Řešení

Ukazuje se, že pro soustavy rovnic zapsaných v divergentním tvaru bude řešení samopodobné .

Řešení se hledá ve formě množiny elementárních vln, určených strukturou soustavy rovnic. Zejména pro dynamiku plynů to jsou: rázová vlna , vlna zředění , kontaktní diskontinuita . Uveďme řešení v explicitní podobě pro konkrétní případ ideálního plynu v klidu s adiabatickým exponentem . Nechť v počátečním okamžiku tlak , hustota a rychlost mají tvar: $\gamma$ $P$ $\rho$ $proti$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

a - vlna jde doprava. Pak v libovolném okamžiku má řešení tvar $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	nerušená záležitost	vlna zředění	Oblast mezi vlnovou frontou zředění a kontaktní diskontinuitou	Oblast mezi nespojitostí kontaktu a čelem rázové vlny	nerušená záležitost
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gama }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_{R}$

Zde je rychlost zvuku v nerušeném prostředí vlevo, , , , jsou parametry plynu a rychlost zvuku mezi čelem rázové vlny a diskontinuitou kontaktu, , , jsou parametry plynu mezi diskontinuitou kontaktu a rázovou vlnou, a je to rychlost rázové vlny. Těchto pět parametrů je určeno z nelineárního systému rovnic, které odpovídají zákonům zachování energie, hmoty a hybnosti: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2))))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gama -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\right)^{\frac {\gamma -1}{2)) \že jo)

První tři rovnice zde odpovídají Hugoniotovým vztahům pro ideální plyn [2] , čtvrtá a pátá - vztahům ve vlně ředění [3] .

Aplikace

Řešení Riemannovy úlohy nachází uplatnění v numerických metodách řešení nestacionárních úloh s velkými nespojitostmi. Právě na řešení (přesném nebo přibližném) Riemannovy úlohy rozpadu diskontinuity je založena Godunovova metoda řešení soustav nestacionárních rovnic mechaniky kontinua.

Poznámky

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften v Göttingenu. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Archivováno z originálu 24. července 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fyzika rázových vln a vysokoteplotní hydrodynamické jevy. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 s.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fyzika rázových vln a vysokoteplotní hydrodynamické jevy. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 s.