Problém se čtyřmi kostkami

Úkolem čtyř kostek je najít všechna celočíselná řešení diofantinské rovnice :

x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.

Je třeba poznamenat, že i když bylo navrženo několik úplných řešení této rovnice v racionálních číslech , její úplné řešení v celých číslech není od roku 2018 známo [1] .

Historie

I Platón věděl, že součet krychlí stran pythagorejského trojúhelníku je také krychle [2] , o čemž se zmiňuje ve svém " Stavu " [3] . $3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

Příklady celočíselných řešení

Nejméně přírodní řešení:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}

3^3+10^3+18^3=19^3

7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}

4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}

18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}

11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}

2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}

6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}

16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}

Pokud jsou povoleny záporné hodnoty, pak identity platí:

-1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}

-2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}

-2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}

-2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}

-3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}

Kompletní racionální parametrizace

G. Hardy & Wright (1938) [4] [5]

$x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}$ $y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}$ $z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$ $w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

N. Elkis [1]

{\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})ts^{3}+rs^{2}- 2r^{2}sr^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+ rs ^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2} + 2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{ 2 }-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}

Další série řešení

Leonhard Euler , 1740

$x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})$ $y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})$ $z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$ $w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

Linnik , 1940

$x=b(a^{6}-b^{6})$ $y=a(a^{6}-b^{6})$ $z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})$ $w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})$

$x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}$ $y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}$ $z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2 }$ $w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2 }$

$x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}$ $y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}$ $z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2 }$ $w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2 }$

Roger Heath-Brown [1] , 1993

$x=9a^{4}$ $y=3a-9a^{4}$ $z=1-9a^{3}$ $w=1$

Mordell , 1956

$x=9a^{3}b+b^{4}$ $y=9a^{4}$ $z=-b^{4}$ $w=9a^{4}+3ab^{3}$

$x=9a^{3}bb^{4}$ $y=9a^{4}-3ab^{3}$ $z=b^{4}$ $w=9a^{4}$

$x=9a^{3}b+b^{4}$ $y=9a^{3}bb^{4}$ $z=9a^{4}-3ab^{3}$ $w=9a^{4}+3ab^{3}$

Řešení získané metodou algebraické geometrie ( en: Fermat cubic )

$x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\vpravo)-9$ $y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a$ $z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9$ $w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)$

Ramanujan

$x=3a^{2}+5ab-5b^{2}$ $y=4a^{2}-4ab+6b^{2}$ $z=5a^{2}-5ab-3b^{2}$ $w=6a^{2}-4ab+4b^{2}$

$x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})$ $y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}$ $z=a^{6}-1-3b-3b^{2}$ $w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)$

$x=-a^{2}+9ab+b^{2}$ $y=a^{2}+7ab-9b^{2}$ $z=2a^{2}-4ab+12b^{2}$ $w=2a^{2}+10b^{2}$

Neznámý autor, 1825

$x=a^{9}-3^{6}$ $y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}$ $z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}$ $w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a$

D. Lemaire, 1955

$x=3888a^{{10}}-135a^{4}$ $y=-3888a^{{10}}-1296a^{7}-81a^{4}+3a$ $z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1$ $w=1$

V. B. Labkovský

$x=4b^{2}-11b-21$ $y=3b^{2}+11b-28$ $z=5b^{2}-7b+42$ $w=6b^{2}-7b+35$

Hardy a Wright

$x=a(a^{3}-2b^{3})$ $y=b(2a^{3}-b^{3})$ $z=b(a^{3}+b^{3})$ $w=a(a^{3}+b^{3})$

$x=a(a^{3}-b^{3})$ $y=b(a^{3}-b^{3})$ $z=b(2a^{3}+b^{3})$ $w=a(a^{3}+2b^{3})$

G. Alexandrov, 1972

$x=7a^{2}+17ab-6b^{2}$ $y=42a^{2}-17ab-b^{2}$ $z=56a^{2}-35ab+9b^{2}$ $w=63a^{2}-35ab+8b^{2}$

$x=7a^{2}+17ab-17b^{2}$ $y=17a^{2}-17ab-7b^{2}$ $z=14a^{2}-20ab+20b^{2}$ $w=20a^{2}-20ab+14b^{2}$

$x=21a^{2}+23ab-19b^{2}$ $y=19a^{2}-23ab-21b^{2}$ $z=18a^{2}+4ab+28b^{2}$ $w=28a^{2}+4ab+18b^{2}$

$x=3a^{2}+41ab-37b^{2}$ $y=37a^{2}-41ab-3b^{2}$ $z=36a^{2}-68ab+46b^{2}$ $w=46a^{2}-68ab+36b^{2}$

$x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}$ $y=36a^{2}-22ab+b^{2}$ $z=40a^{2}-40ab+12b^{2}$ $w=48a^{2}-40ab+10b^{2}$

Ajai Choudhry 1998 [6]

$dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b )c^{3},$ $dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(ab) c^{3}\},$ $dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),$ $dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},$

kde čísla jsou libovolná celá čísla a číslo je vybráno tak, aby byla splněna podmínka . $a,b,c$ $d\ne 0$ $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1$

Korovjev, 2012

$x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$ $y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$ $z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$ $w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

kde , a jsou libovolná celá čísla. [7] $A$ $b\,,\,c$ $d$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Cohen, Henri 6.4 Diofantní rovnice stupně 3 // Teorie čísel – I. díl: Nástroje a diofantické rovnice . - Springer-Verlag , 2007. - Sv. 239- ( Absolventské texty z matematiky ). - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ Perelman Ya.I. Zábavná algebra / Upraveno a doplněno V.G. Boltyansky .. - Jedenácté vydání. - Moskva: Nakladatelství "Nauka": Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1967. - S. 120 -121. — 200 s.
↑ Mario Livio . φ - Číslo Boha. Zlatý řez je vzorec vesmíru . - AST, 2015. - S. 110. - ISBN 978-5-17-094497-2 .
↑ Úvod do teorie čísel . — První vyd. — Oxford: Oxford University Press , 1938.
↑ Citace ze sekce "1.3.7 Rovnice " z knihy Hardyho a Wrighta ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3))$
↑ Ajai Choudhry. On Equal Sums of Cubes Archived 21. července 2020 na Wayback Machine . Rocky Mountain J Math. Svazek 28, číslo 4 (1998), 1251-1257.
↑ V mnoha případech mají čísla společné dělitele. K získání primitivního čtyřnásobku čísel stačí zmenšit každé z čísel o jejich největšího společného dělitele . $x,y,z,w$

Literatura

Hardy G. Dvanáct přednášek o Ramanujanu. - M. : Ústav počítačového výzkumu, 2002. - 336 s.
V. Serpinsky . §patnáct. Řešení rovnic v racionálních číslech // O řešení rovnic v celých číslech . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 s.
E. Rowland. Známé rodiny celočíselných řešení pro $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ (anglicky) : journal. Archivováno z originálu 27. září 2013.
Labkovského řešení (úkol č. 2)
Siziy S. V. 20. Srovnání libovolného stupně modulo a prime // Přednášky o teorii čísel: Učebnice pro matematické speciality . - Jekatěrinburg: Uralská státní univerzita pojmenovaná po. A. M. Gorkij , 1999.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .