Betzův zákon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. prosince 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Betzův zákon definuje maximální výkon větrného generátoru pro danou rychlost větru a plochu rotoru. Objeven v roce 1919 německým fyzikem Albertem Betzem . Podle tohoto zákona může větrný generátor odebrat více než 59,3 % výkonu proudu vzduchu, který na něj dopadá [1] .

Základní vysvětlení

Energie produkovaná větrným generátorem závisí na množství vzduchu, který jím prošel (tzv. průtok) a podílu výkonu odebraného z proudu vzduchu, který se projevuje zpomalením proudění při průchodu rotorem. Uvažujme dva extrémní případy:

Pokud rotor odebírá 100 % energie z toku, pak se tok zastaví, zatímco tok bude nulový a výkon větrného generátoru bude také nulový.
Pokud rotor odebírá 0 % výkonu z toku, pak tok bude maximální, ale výstupní energie bude také nulová.

Nejlepší způsob fungování jakéhokoli vetogenerátoru tedy leží uprostřed mezi těmito dvěma extrémními případy. Betzův zákon matematicky vyjadřuje tento způsob maximální účinnosti. Tvrdí, že maximální účinnosti, rovné 16/27 (59,3 %), je dosaženo, když je vzduch procházející rotorem zpomalen trojnásobně [2] [3] .

Tři nezávislé objevy limitu účinnosti turbíny

Britský vědec Frederick Lanchester vypočítal účinnost turbíny v roce 1915. Ruský vědec, zakladatel aerodynamiky jako vědy, Nikolaj Jegorovič Žukovskij , publikoval stejný výsledek o ideální větrné turbíně v roce 1920, ve stejném roce jako Betz. [4] Toto je ukázkový příklad Stiglerova zákona .

Odvození vzorce

Betzův limit představuje maximální možnou energii, kterou může proud vzduchu o určité rychlosti přenést na nekonečně tenký rotor [5] .

Pro výpočet maximální teoretické účinnosti tenkého rotoru (například větrného mlýna ) nahradíme rotor diskem, který odebírá energii z proudění, které jím prochází. Po průchodu diskem ztrácí proudění část své rychlosti [5] .

Předpoklady

Rotor nemá náboj a je ideální s nekonečným počtem lopatek, které nemají žádný odpor.
Proud má přísně axiální směr. Celý proud dopadající na disk jím zcela prochází a vystupuje z rubové strany.
Proud je nestlačitelný. Hustota zůstává konstantní, nedochází k přenosu tepla.
Síla na kotouč nebo rotor je rovnoměrná.

Aplikace zákona zachování hmoty (rovnice kontinuity)

Aplikujeme-li na objem vzduchu procházejícího rotorem, zákon zachování hmotnosti , dostaneme výraz pro hmotnostní tok (hmotnost vzduchu procházející rotorem za jednotku času):

{\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},

kde je rychlost proudění před rotorem; - rychlost proudění za rotorem;, - rychlost na hydraulickém pohonném zařízení; - hustota vzduchu ; je plocha rotoru; a - průřez proudu vzduchu dopadajícího na rotor a opouštějícího rotor. $v_{1}$ $v_{2}$ $proti$ $\rho$ $S$ $A_{1}$ $A_{2}$

Součin hustoty, průtokového průřezu a rychlosti tedy musí být stejný v každé ze tří oblastí: před rotorem, při průchodu rotorem a za ním.

Síla působící na proud vzduchu ze strany rotoru se rovná hmotnosti vzduchu vynásobené jeho zrychlením. Z hlediska hustoty, průřezu a průtoku to lze zapsat jako

{\begin{aligned}F&=ma=m{\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}\,\Delta v=\rho Sv(v_{1}-v_{2 }).\end{aligned}}

Síla a práce

Práci vykonanou silou lze zapsat v diferenciálním tvaru jako

dE=F\,dx,

pak síla proudění vzduchu

P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.

Nahrazením dříve získaného výrazu silou získáme $F$

P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).

Na druhou stranu lze výkon vypočítat jako ztrátu energie prouděním vzduchu za jednotku času:

P={\frac {\Delta E}{\Delta t))={\tfrac {1}{2)){\tečka {m))(v_{1}^{2}-v_{2 }^{2}).

Nahrazením dříve nalezeného výrazu z podmínky spojitosti získáme ${\tečka m}$

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).

Srovnejte oba výrazy:

P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1} -v_{2}).

Omezíme společné faktory a transformujeme výsledný výraz:

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=v(v_{1}-v_{2});

{\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2});

v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).

Rychlost proudění vzduchu v rotoru je tedy rovna aritmetickému průměru rychlostí před ním a za ním.

Betzův zákon a účinnost

Vraťme se k výrazu pro výkon z hlediska kinetické energie :

{\dot {E}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}^{3}+v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{ 2}-v_{2}^{3})

={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right )^{3}\right).

Odlišením posledního výrazu s ohledem na konstanty at a přirovnáním výsledného výrazu k nule zjistíme, že má extrém (maximum) v . ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}$ $v_{1}$ $S$ $\tečka E$ ${\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}$

Dosazením tohoto výsledku do výrazu pro moc dostaneme

P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Poslední výraz zapíšeme jako

P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Celkový výkon proudu vzduchu s průřezem a rychlostí je roven $S$ $v_{1}$

P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.

Jedná se tedy o „ účiník “ [6] , který ukazuje, jaký maximální podíl výkonu dopadajícího proudění zabírá rotor větrného generátoru. Je to stejné , to znamená, že účinnost větrného generátoru nemůže překročit 59,3%. $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}$ $C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}=0,593$

Moderní velké větrné turbíny dosahují hodnot 0,45 ... 0,50 [7] , tedy 75–85 % maximální možné hodnoty. Při vysokých rychlostech větru, když turbína pracuje na jmenovitý výkon, se úhel lopatek zvětší, čímž se sníží α , aby se zabránilo poškození rotoru. Při zvýšení rychlosti větru z 12,5 na 25 m/s se síla větru zvýší 8x, respektive při větru 25 m/s je třeba ji snížit na 0,06. $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$ $C_{\text{p))$

Viz také

Síla větru

Poznámky

↑ Betz, A. (1966) Úvod do teorie průtokových strojů . (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
↑ Wind Turbines - Betz Law Explained (anglicky) (odkaz není dostupný) . Physics and Astronomy Outreach Program na University of British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (18. května 2010). Datum přístupu: 9. prosince 2015. Archivováno z originálu 28. září 2015.
↑ Peter F. Pelz. Horní limit pro vodní energii v toku v otevřeném kanálu . JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING Vol. 137, č.p. 11 (listopad 2011). - "Tohoto optima je dosaženo, když je vítr zpomalen na 1=3 své rychlosti před větrnou turbínou a na 2=3 v rovině větrné turbíny." Staženo: 9. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Gijs AM van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit Archived 9. června 2011 ve Wayback Machine , Wind Energ. 2007; 10:289-291
↑ 1 2 Manwell, JF Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / JF Manwell, JG McGowan, AL Rogers. — Chichester, West Sussex, UK : John Wiley & Sons Ltd., únor 2012. — S. 92–96 . — ISBN 9780470015001 .
↑ "Dánská asociace větrného průmyslu" . Archivováno z originálu 31. října 2009.
↑ „Enercon E-rodina, 330 Kw až 7,5 Mw, specifikace větrné turbíny“ Archivováno 16. května 2011 na Wayback Machine .

Odkazy

Martin Kaltschmitt, Wolfgang Streicher, Andreas Wiese. Obnovitelná energie : Technologie, ekonomika a životní prostředí . - Springer, 2007. - ISBN 978-3-540-70947-3 .
Gorban, Alexander N., Alexander M. Gorlov a Valentin M. Silantyev, "Meze účinnosti turbíny pro volné proudění tekutiny." / Journal of Energy Resources Technology 123.4 (2001): 311-317.
Teorie přeměny větrné energie, Betzova rovnice , M. Ragheb , 2014