Poiseuilleho zákon

Poiseuilleův zákon (někdy Hagen-Poiseuilleův zákon nebo v jiném přepisu - Hagenův-Poiseuilleův zákon ) je fyzikální zákon hydrodynamiky pro tzv. Poiseuilleovo proudění , tedy ustálené proudění viskózního, v konkrétním případě nestlačitelného, kapalina v tenké válcové trubce. Přiřazuje průtok kapaliny úsekem potrubí s poklesem tlaku na jeho koncích pro danou viskozitu kapaliny a geometrické rozměry potrubí.

Zákon empiricky ustanovil v roce 1839 G. Hagen a v letech 1840-1841 samostatně J. L. Poiseuille . Teoreticky vysvětlil J. G. Stokes v roce 1845.

Znění zákona

Při ustáleném laminárním proudění viskózní nestlačitelné tekutiny dlouhou (tj. s délkou trubky mnohonásobně větší než její průměr) přímou válcovou trubkou ( kapilárou ) kruhového průřezu je objemový průtok kapaliny přímo úměrný pokles tlaku na jednotku délky potrubí a čtvrtá mocnina poloměru a nepřímo úměrný koeficientu viskozity kapaliny .

Q=\frac{\pi R^4}{8\eta l}(p_1-p_2)=\frac{\pi d^4}{128\eta l}\Delta p,

kde

$p_1-p_2=\Delta p$ — tlakový rozdíl na koncích potrubí, Pa;
$Q$ — objemový průtok kapaliny, m³/s;
$R$ — poloměr potrubí , m;
$d$ — průměr potrubí , m;
$\eta$ — koeficient dynamické viskozity, Pa s;
$l$ - délka potrubí , m.

Vzorec platí za prvé, je-li proudění tekutiny laminární, a za druhé, laminární proudění je ustálené, přičemž rychlostní profil je popsán Poiseuilleovým prouděním, přičemž vliv konců potrubí lze zanedbat.

Jev popsaný vzorcem se někdy používá k experimentálnímu stanovení viskozity kapalin. Dalším způsobem, jak určit viskozitu kapaliny, je metoda využívající Stokesův zákon .

Poiseuilleův zákon pro proudění stlačitelné tekutiny v potrubí

U stlačitelné kapaliny v potrubí (plynu) nejsou objemový průtok a lineární rychlost podél potrubí konstantní, při vysokých tlacích je rychlost a objemový průtok nižší při konstantním průtoku plynu, redukovaném na normální podmínky . Protože plyn během proudění expanduje, v obecném případě se teplota plynu podél potrubí mění, to znamená, že proces je neizotermický .

To znamená, že průtok závisí nejen na tlaku v daném úseku potrubí, ale také na teplotě plynu.

Pro ideální plyn v izotermickém případě, kdy má teplota plynu v důsledku výměny tepla se stěnou potrubí čas vyrovnat se s teplotou stěny a kdy je tlakový rozdíl mezi konci potrubí malý vzhledem k průměrnému tlaku podél potrubí, objemový průtok na výstupu z potrubí je určen výrazem:

Q={\frac {\pi R^{4}}{16\eta l}}\left({\frac {P_{\mathrm {i} }^{2}-P_{\mathrm {o } }^{2}}{P_{\mathrm {o} }}}\right),

kde je vstupní tlak, Pa;

P_{\mathrm {i} }

{\displaystyle P_{\mathrm {o} ))

– výstupní tlak, Pa;

l

— délka potrubí, m;

\eta

— dynamická viskozita, Pa s;

R

— poloměr, m;

Q

- objemový průtok plynu při výstupním tlaku, m 3 / s.

Tuto rovnici lze považovat za Poiseuilleův zákon s dodatečným koeficientem pro zprůměrování tlaku podél potrubí:

{\frac {P_{\mathrm {i} }+P_{\mathrm {o} }}{2P_{\mathrm {o} }}}.

Variace a zobecnění

Existuje zobecnění vzorce Poiseuilleova zákona pro dlouhou trubku s eliptickým řezem. Ze vzorce pro potrubí s eliptickým řezem vyplývá vzorec Poiseuilleova zákona pro proudění tekutiny mezi dvěma rovnoběžnými rovinami (v limitním případě, kdy hlavní poloosa elipsy směřuje k nekonečnu). Referenční literatura obsahuje vzorce pro rychlostní profil proudění tekutiny a pro rychlost proudění tekutiny na jednotku plochy [1] [2] .

Literatura

Vishnevetsky S. M. Poiseuille's Law // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
Sutera SP, Skalak R. Historie Poiseuilleova zákona // Roční přehled mechaniky tekutin. - 1993. - T. 25 . — S. 1–19 .
Ebert G. Stručná referenční kniha o fyzice: referenční vydání / ed. K. P. Jakovleva. - za z 2. něm vyd. N. M. Shikunina. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 552 s.
Yavorsky B. M., Detlaf A. A. Handbook of Physics. - Věda , 1978. - 944 s.

Odkazy

Původní publikace Hagen a Poiseuille