Snellův zákon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Snellův zákon (také Snell nebo Snell ) popisuje lom světla na rozhraní dvou průhledných prostředí. Je také použitelný pro popis lomu vln jiné povahy, například zvukových vln. Teoretické vysvětlení Snellova zákona naleznete v článku Refrakce .

Zákon objevil v roce 1621 holandský matematik Willebrord Snellius [1] . O něco později publikoval (a pravděpodobně nezávisle znovuobjevil) René Descartes .

Formulace

Úhel dopadu světla na povrch souvisí s úhlem lomu podle vztahu:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

kde je index lomu prostředí, ze kterého světlo dopadá na rozhraní;

n_{1}

\theta _{1}

- úhel dopadu světla - úhel mezi paprskem dopadajícím na povrch a normálou k povrchu;

n_{2}

je index lomu prostředí, do kterého světlo vstupuje po průchodu rozhraním;

\theta _{2}

- úhel lomu světla - úhel mezi paprskem procházejícím povrchem a normálou k povrchu. Odvození zákona

Nechte jej ležet v rovině výkresu. Nechte osu nasměrovat vodorovně, osu - svisle. Z úvah o symetrii vyplývá, že a (pro dopadající, odražené a lomené vlny, v tomto pořadí) musí ležet ve stejné rovině. $\vec{k}$ $X$ $y$ ${\vec {k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Z dopadajícího paprsku vyčleňme rovinně polarizovanou složku, ve které je úhel mezi rovinou a rovinou libovolný. Pokud tedy zvolíme počáteční fázi rovnou nule, pak: ${\vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Výsledné pole v prvním a druhém prostředí je:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Je zřejmé, že tečné složky a musí být stejné na rozhraní, tj $E_1$ $E_2$ $y=0.$

Pak:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk'''_{x}x+\alpha '')}.

Aby poslední rovnice platila pro všechny , je nutné, aby , a aby platila pro všechny , je nutné, aby: $t,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $X,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Šipka doleva doprava k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

kde a jsou vlnové rychlosti v prvním a druhém médiu.

v_{1}

v_{2}

Z toho tedy vyplývá ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

Rozsah zákona

Snellův zákon je dobře definován pro případ „ geometrické optiky “, tedy v případě, kdy je vlnová délka dostatečně malá ve srovnání s rozměry lomné plochy, obecně řečeno funguje v rámci přibližného popisu, který je geometrická optika.

Pokud dojde k úplnému vnitřnímu odrazu (není zde žádný lomený paprsek, dopadající paprsek se zcela odráží od rozhraní mezi médii). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

Je třeba poznamenat, že v případě anizotropních prostředí (například krystalů s nízkou symetrií nebo mechanicky deformovaných pevných látek) se lom řídí poněkud složitějším zákonem. V tomto případě je možná závislost směru lomu paprsku nejen na směru dopadu, ale i na jeho polarizaci (viz dvojlom ).

Snellův zákon nepopisuje poměr intenzit a polarizací dopadajících, lomených a odražených paprsků, uvažovaných v podrobnějších Fresnelových vzorcích .

Historický nástin

První zákon lomu světla, tedy závislost úhlu lomu na úhlu dopadu, se pokusil experimentálně určit slavný starověký astronom Claudius Ptolemaios v páté knize svého pojednání "Optika" . Ptolemaios měřil, jak se mění úhel lomu v závislosti na úhlu dopadu, když se mění z na a sestavil tabulky pro tři možnosti změny média: vzduch-voda, vzduch-sklo a vodní sklo. Například pro případ vzduch-voda je Ptolemaiova tabulka následující (pro srovnání jsou uvedeny i moderní údaje a chybová hodnota) [2] [3] : ${\displaystyle 10^{\circ ))$ $80^{\circ },$

Úhly lomu podle Ptolemaia a podle moderních dat (vzduch-voda)

Úhel dopadu, stupně	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Ptolemaiovy údaje	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Moderní data	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Chybová hodnota	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Historici došli k závěru, že Ptolemaios skutečně změřil vychýlení paprsku pouze v oblasti 60° a úhly jemu blízké, protože ve všech třech tabulkách je pro tuto hodnotu chyba nula a pro ostatní úhly provedl lineární aproximaci. s jím zvolenými koeficienty. Ve skutečnosti je však závislost úhlu lomu na úhlu dopadu nelineární, takže Ptolemaios dostal velké chyby [2] [4] .

Arabský fyzik a astronom 11. století Ibn al-Khaytham ve své knize „ Book of Optics (1021) také pojednává o tomto tématu a uvádí své tabulky blízké těm ptolemaiovským, ale nepokouší se požadovaný zákon vyjádřit matematicky. [3] .

V roce 1990 arabský historik vědy Roshdi Rashed , který se specializuje na vyhledávání arabských příspěvků do světové vědy, publikoval článek, ve kterém uvedl, že našel dva fragmenty arabského rukopisu málo známého učence desátého století, Ibn Sal , jeden z učitelů Ibn al-Haytham. Rashed také uvedl, že byl schopen rekonstruovat text, z něhož vyplývá, že ibn Sal objevil a správně formuloval Snellův zákon. Dosud neexistuje žádné nezávislé potvrzení Rashedových tvrzení. Je také nutné vysvětlit, proč žádný z stoupenců ibn Sala, včetně jeho studenta Ibn al-Khaythama, nezmiňuje tento zásadní úspěch a proč ibn Sal sám neuvádí, jakými experimenty dokázal svůj objev [5] [3] .

V Evropě se první formulace zákona lomu nachází v nepublikovaném rukopisu anglického matematika Thomase Harriota (1602). Německý astronom Johannes Kepler , který se zabýval problémem výběru nejlepší formy zápalných čoček, požádal Harriota, aby poskytl podrobnosti o otevřeném zákonu, ale Harriot se omezil na zasílání aktualizovaných tabulek s odkazem na skutečnost, že mu špatné zdraví nedovoluje vyjádřit zákon ve formě vhodné pro zveřejnění [6] .

K dalšímu nepublikovanému objevu tohoto zákona došlo v roce 1621, kdy holandský matematik Willebrord Snell ( Snellius ) sepsal zákon lomu ve formě ekvivalentní modernímu: „ ve stejném médiu byl poměr kosekans úhlů dopadu a refrakce zůstává konstantní ." Náhlá smrt v roce 1626 zabránila Snellovi ve zveřejnění jeho objevu, ale pověsti se o něm rozšířily a koncept Snellova papíru přežil a je v knihovně Amsterdamské univerzity [7] .

Později byl „Snellův zákon“ nezávisle objeven a publikován René Descartesem v pojednání Discourse on Method (Dioptric Appendix, 1637). Snellovu prioritu stanovil Christian Huygens v roce 1703 (ve svém pojednání Dioptrie), 77 let po Snellově smrti, kdy byl tento zákon již dobře znám; Huygens také doložil (v Pojednání o světle ) odvození Snellova zákona z vlnové teorie světla a Huygens-Fresnelova principu . Kritici obvinili Descarta z plagiátorství , protože měli podezření, že během jedné ze svých návštěv v Leidenu se Descartes doslechl o Snellově objevu a byl schopen se seznámit s jeho rukopisy [8] . Neexistují však žádné důkazy o plagiátorství a Descartova nezávislá cesta k tomuto objevu byla podrobně prozkoumána historiky [9] [10] .

Fermatův princip

K prokázání zákona lomu lze použít známý princip [11] o pohybu světelného paprsku po dráze mezi dvěma body, který vyžaduje nejméně času. Nechť rychlost světla ve dvou prostředích je a , pak doba pohybu mezi body A a B závisí na volbě bodu P na hranici mezi prostředími: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Tato funkce bude mít minimum, když je její derivace nula [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Zde lze sinusy úhlů vyjádřit jako trojúhelníky:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sin \beta

Derivát je redukován do tvaru

{\frac {\sin \alpha }{v_{1))}-{\frac {\sin \beta }{v_{2))}=0\,,

z čehož vyplývá, že

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Tento výraz je Snellův zákon [13] .

Vzorec vektoru

Nechť a jsou paprskové vektory dopadajících a lomených světelných paprsků, tedy vektory udávající směry paprsků a mající délky a jednotkový normálový vektor k lámavému povrchu v bodě lomu. Pak: $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ $\scriptstyle {\vec {n))$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\right)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Poznámky

↑ Snell je romanizovaná forma původního příjmení Snell .
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudius Ptolemaios / Resp. vyd. A. A. Gurštein. - M .: Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 s.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Teorie světla od Descarta po Newtona , Cambridge University Press . ( srov . Pavlos Mihas, Využití historie při rozvíjení myšlenek lomu, čoček a duhy , str. 5, Demokritus University, Thrace , Řecko .)
↑ Ptolemaios (cca 100-cca 170) . Svět vědecké biografie Erica Weinsteina . Získáno 28. července 2021. Archivováno z originálu dne 27. dubna 2006. (neurčitý)
↑ Dr. Gorden Viden . Čí zákon lomu? Archivováno 27. července 2021 na Wayback Machine , Optics & Photonics News (květen 2008) Archivováno 27. července 2021 na Wayback Machine
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). "Kdo skutečně objevil Snellův zákon?" Svět fyziky . 15 (4): 64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Dějiny fyziky . - M. - L. : GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
↑ Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. Světové dějiny fyziky. Od starověku do konce 18. stol. - Ed. 3. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 s. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman přednášky o fyzice. Svazek 3: Záření. Vlny. Quanta. Překlad z angličtiny (Vol. 4). — Redakční URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optika: učebnice pro vysoké školy . - 6. vyd. stereot. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Snellův zákon // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - 704 s. - 40 000 výtisků. - ISBN 5-85270-087-8 .

Odkazy

Prvky velké vědy: Snellův zákon