Uzavření (algebra)

V obecné algebře je uzavření množiny s ohledem na danou množinu algebraických operací nejmenší možné rozšíření dané množiny (tj. neobsahující jiné podobné), ve kterém jakákoli aplikace těchto operací na prvky takového rozšíření nečiní. nepřekračovat jeho hranice. Minimální rozšíření bude vždy existovat jako průsečík všech popsaných rozšíření.

Formálně, nechť je podmnožinou nositele nějaké algebry . Pak uzavření množiny s ohledem na signaturu je minimální subalgebra obsahující ( ). $M$ $A$ ${\mathfrak A}=\langle A,\Sigma \rangle$ $M$ $\Sigma$ $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak A}$ $M$ $M\subseteq A_{0}$

Příklady:

Uzávěrem množiny s ohledem na operaci sčítání bude množina všech přirozených čísel . $\{jeden\}$ $\mathbb {N}$
Uzávěrem množiny s ohledem na operace sčítání a odčítání bude množina všech celých čísel , $\{jeden\}$ $\mathbb {Z}$
Uzavření množiny při sčítání, násobení nebo obou operacích se shoduje samo se sebou. $\{0\}$

Množina shodná se svým uzávěrem se nazývá algebraicky uzavřená (s ohledem na danou množinu operací).

Příklady:

Podskupina je uzavřena pod skupinovou operací.
Podmnožina přirozených čísel v množině celých čísel je uzavřena operací sčítání , ale není uzavřena operací odčítání . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Uzavření (algebra)

Viz také