Měřitelný prostor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. srpna 2011; kontroly vyžadují 14 úprav .

Měřitelný prostor je pár , kde je množina a je nějaká -algebra jejích podmnožin. [jeden] $(X,{\mathfrak {A}})$ $X$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$

Základní informace

Měřitelný topologický prostor je měřitelný prostor , ve kterém je vybrána algebra generovaná nějakým základem množin topologického prostoru X. Minimální algebra obsahující všechny otevřené množiny se nazývá Borelova algebra prostoru X; v tomto případě se množiny nazývají Borel . $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ $\sigma$ $A\in {\mathfrak {A}}$

Měřitelný prostor se nazývá oddělitelný , pokud existuje nějaký spočetný systém množin , který odděluje body prostoru a vytváří odpovídající algebru . Říká se, že systém množin , odděluje body prostoru , pokud pro nějaké existují disjunktní množiny takové, že . $(X,{\mathfrak {A}})$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $X$ $x_{1},x_{2}\in X$ $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C))$ $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}$

Součin měřitelných prostorů je měřitelný prostor , ve kterém - algebra , je generována součinem - algeber a , tzn. je generován semiringem všech možných pravoúhlých množin tvaru , kde , . $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=X_{1}\krát X_{2}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}_{1}$ ${\mathfrak {A}}_{2}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ $A_{1}\times A_{2}$ $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$ $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$

Nechť je nějaký měřitelný prostor a buď konečná množina indexů . Měřitelný prostor , kde je - násobný součin prostoru sám o sobě a - algebra je - násobný součin odpovídajících - algeber , se nazývá měřitelný souřadnicový prostor . Body tohoto prostoru jsou dány souřadnicemi . Pokud jde o libovolnou množinu, pak je souřadnicový prostor definován jako soubor všech funkcí na množině s hodnotami v prostoru (jednotlivé hodnoty lze interpretovat jako souřadnice bodu patřícího do prostoru ). $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t=1,...,n.$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ ${\displaystyle x={x(1),...,x(n)))$ $X=E^{T}$ $x(t),t\in T$ $T$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $T$ $E$ $x(t)$ $x=x(t)$ $X=E^{T}$

Dovolit být libovolné body souboru , Kde je konečné číslo, a jsou libovolné podmnožiny prostoru . Spousta druhu $t_{1},...,t_{n}$ $T$ $n$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $E$

{x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))

patřící do prostoru se nazývá válcová zasazená v . Jinými slovy, válcová množina se skládá z těch a pouze těch bodů, jejichž souřadnice jsou zahrnuty v odpovídajících množinách . Systém všech válcových množin, pro které jsou zahrnuty v -algebře prostoru , je semiring . Měřitelný souřadnicový prostor je prostor s algebrou generovanou poloměrem . $X$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $x(t_{1}),...,x(t_{n})$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $E$ ${\mathfrak {B}}^{T}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}^{T}$

Nechť , je algebra vytvořená semiringem všech možných válcových množin s libovolnými indexy . Pokud je bod v prostoru zahrnut do množiny od a jiný bod je takový, že odpovídající souřadnice těchto bodů jsou stejné: pro všechny , pak je zahrnut i do . Libovolná množina A z - algebry současně patří do some - algebra , kde - je nějaká spočetná množina (v závislosti na uvažované množině S). ${\mathfrak {A}}(S)$ $S\subseteq T$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}^{S}$ $t_{1},...,t_{n}\in S$ $x'=x'(t)$ $X=E^{T}$ $A$ ${\mathfrak {A}}(S)$ $x''=x''(t)$ $x'(t)=x''(t)$ $t\in S$ $x''=x''(t)$ $A$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$ $S$

Nechť je funkce na měřitelném prostoru s hodnotami v libovolném prostoru . Množina všech množin takových, že inverzní obrazy jsou v -algebře prostoru , je -algebra. $\phi =\phi (x)$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $Y$ ${\mathfrak {B}}_{\phi }$ $B\subseteq Y$ $\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$

Nechte libovolný prostor a buďte funkční s hodnotami v měřitelném prostoru . Množina všech množin , které jsou předobrazy z - algebra : je - algebra. $X$ $\phi =\phi (x)$ $X$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak {A}}^{\phi }$ $A\subseteq X$ $B$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$

Nechť jsou měřitelné prostory. Funkce se nazývá ( ) měřitelná , pokud je předobraz zahrnut v -algebře . Pokud nějaký systém množin generuje -algebru , pak je funkce měřitelná tehdy a jen tehdy, když pro jakýkoli předobraz vstoupí . $(X,{\mathfrak {A}})$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ $\phi =\phi (x)$ ${\mathfrak {A},{\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $\phi$ $B\in {\mathfrak {C}}$ ${\displaystyle \{\phi \in B\))$ ${\mathfrak {A}}$

Poznámka

↑ 1 2 Prochorov Yu.V. , Rozanov Yu.A. Teorie pravděpodobnosti (Základní pojmy. Limitní věty. Náhodné procesy) - M .: Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, Nauka Publishing House, 1973. - 496 stran.