Inverzní skupina

Inverzní grupa je konstrukce v teorii grup , která zaměňuje argumenty operace binární grupy, používané k určení správné akce . Pro danou skupinu je konstruována jako skupina se stejnou sadou prvků, ale s produktem definovaným pravidlem . $G=(G,\cdot)$ $G^{op}=(G, {*})$ ${*}$ $g * h := h \cdot g$

Inverzní grupa abelovské grupy je stejná jako ona sama. Inverzní grupa jakékoli grupy je k ní izomorfní: izomorfismus je například ; navíc jakýkoli anti-automorfismus (mapování skupiny jedna ku jedné na sebe, které splňuje vztah ) generuje odpovídající izomorfismus : $g\mapsto g^{-1}$ $\psi: G \to G$ $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$ $\varphi: G \to G^{op}$

\varphi(a \cdot b) = \psi(a \cdot b) = \psi(b) \cdot \psi(a) = \psi(a) * \psi(b) = \varphi(a) * \ varphi(b)

Pokud je zadaná pravá akce skupiny na objekt nějaké kategorie: , pak , definované jako (nebo ), je levá akce. $G$ $\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}: G^{op} \to \mathrm{Aut}(X)$ $\rho^{op}(g) = \rho(g)$ $g^{op}x = xg$

S kategorickou definicí grupy se inverzní grupa stává zvláštním případem duální kategorie .

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - Moskva: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .