Borweinův integrál

Borweinovy integrály jsou integrály zvažované Davidem a Jonathanem Borweinovými, které zahrnují funkci sinc [1] [2] .

V těchto integrálech se objevuje zajímavý vzorec, který na konci zmizí:

{\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt] &\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx= \pi /2\\[10pt]&\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{ x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}

Tento vzorec pokračuje až do

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2~.

Ale v dalším kroku je to rozbité [3] :

{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3))\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15))\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310\fra017)\c\07310\fra017)\c pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\-end 1}~10 {zarovnaný}}

Obecně tyto integrály jsouπ2, jsou-li čísla 3, 5, 7 ... nahrazena kladnými čísly tak, aby součet jejich převrácených hodnot byl menší než jedna.

V našem příkladujeden3+jeden5+ … +jeden13< 1 , alejeden3+jeden5+ … +jedenpatnáct> 1.

Příklad delší řady:

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2

ale

\int \limits _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x /3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2 ,

jak je uvedeno v článku Schmida Hanspetera [4] . V tomto případě je to protojeden3+jeden5+ … +jeden111< 2 alejeden3+jeden5+ … +jeden113> 2 .

Jonathan Borwein, který věděl, že vzor byl porušen na osmém prvku, podal zprávu o „ chybě “ s podporou softwarového balíku Maple . Vývojáři Jacquesu Caretteovi trvalo tři dny, než si uvědomil, že se nejedná o chybu [5] [6] .

Poznámky

↑ Borwein, David & Borwein, Jonathan M. (2001), Některé pozoruhodné vlastnosti sinc a příbuzných integrálů , The Ramanujan Journal vol. 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090 , DOI 10.1023/A:1011497722931
↑ Baillie, Robert (2011), Zábava s velmi velkými čísly, arΧiv : 1105,3943 [math.NT].
↑ Math I Like Archived 17. května 2017 na Wayback Machine Zajímavá sekvence
↑ Schmid, Hanspeter (2014), Dva kuriózní integrály a grafický důkaz , Elemente der Mathematik vol . 69 (1): 11–17, ISSN 0013-6018 , doi : 10.4171/EM/239 , < http://schmid- werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf > Archivováno 5. března 2020 na Wayback Machine
↑ [https://web.archive.org/web/20161128050647/https://habrahabr.ru/post/146140/ Archivováno 28. listopadu 2016 na Wayback Machine https://habrahabr.ru/post/146140/ Archivováno kopie ze dne 28. listopadu 2016 na Wayback Machine Habrahabr ] Nudné integrály
↑ https://mathoverflow.net/questions/11517 . přetečení matematiky. — Chyby počítačové algebry, komentář Jacquese Carette. Získáno 31. března 2019. Archivováno z originálu dne 31. března 2019. (neurčitý)