Vinogradovský integrál

Vinogradovův integrál je násobný integrál formy

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

kde

S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

což je střední hodnota mocniny 2k modulu goniometrického součtu. Vinogradovova věta o hodnotě tohoto integrálu, věta o střední hodnotě, je základem odhadů Weylových součtů . Integrál se používá při řešení úloh analytické teorie čísel [1] .

Hodnota Vinogradovova integrálu odpovídá počtu řešení následující soustavy rovnic:

{\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

kde neznámé mohou nabývat celočíselných hodnot od 1 do [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Poznámky

↑ 1 2 V. N. Čubarikov. Asymptotické vzorce pro integrál I. M. Vinogradova a jeho zobecnění // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Teorie čísel, matematická analýza a jejich aplikace. Sborník článků. Věnováno I. M. Vinogradovovi, členovi Akademie věd k jeho 90. narozeninám: [ ang. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennadij I. Arkhipov, Vladimir N. Čubarikov, Anatolij A. Karacuba. Goniometrické součty v teorii a analýze čísel . — Walter de Gruyter, 2004-01-01. - S. 80. - 565 s. — ISBN 9783110197983 .

Literatura

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Nový odhad pro integrál I. M. Vinogradova // Izv. Akademie věd SSSR. Ser. rohož. - 1978. - č. 42. - S. 751-762.
Vinogradovský integrál // Matematická encyklopedie. svazek 1 / kap. vyd. I. M. Vinogradov. — M.: Sovětská encyklopedie. — 1977.
Vinogradov I. M. Metoda goniometrických součtů v teorii čísel. — M.: Nauka, 1971.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus