Integrál sečny

Integrace funkce trigonometrické sečny byla předmětem jednoho z „nevyřešených problémů poloviny 17. století“, který v roce 1668 vyřešil James Gregory [1] . V roce 1599 Edward Wright odhadl integrál pomocí numerických metod – to, co dnes nazýváme Riemannovými součty [2] . Našel řešení pro účely kartografie – totiž sestavit přesné Mercatorovy projekce [1] . Ve 40. letech 17. století Henry Bond, učitel navigace, zeměměřictvía dalších matematických disciplín porovnali tabulky hodnot integrálu sečny, sestavené Wrightem pomocí numerických metod, s tabulkami logaritmů tečny a hypoteticky dospěli k závěru [1] , že

\int \sec x\,dx=\ln \left|\název operátora {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right) \right|+C.

Tato hypotéza se stala široce známou. Isaac Newton se o ní zmiňuje ve svých dopisech v roce 1665 [3] [4] .

Ačkoli Gregory dokázal Bondův dohad v roce 1668 ve svých Exercitationes Geometricae , Isaac Barrow v roce 1670 v Geometrical Lectures problém vyřešil elegantnější metodou. Jeho řešení bylo nejčasnější použití expanze zlomku v integraci [1] . V souladu s moderní notací začíná Barrowovo řešení takto:

\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{2}x}} =\int {\frac {\cos x\,dx}{1-\sin ^{2}x}}=\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}.

To zjednodušuje problém hledání primitivních racionálních funkcí pomocí rozšíření zlomků. Další řešení problému je následující:

{\begin{aligned}\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}&=\int {\frac {dt}{(1-t)(1+t))) =\int \left({\frac {1/2}{1+t}}+{\frac {1/2}{1-t}}\right)\,dt=\\[10pt]&={ \frac {1}{2}}\ln \left|1+t\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-t\right|+C={\frac {1 }{2}}\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C.\end{aligned}}

A nakonec se po provedení zpětné substituce vrátíme k funkci proměnné x . Nakonec lze integrál zapsat v následujících ekvivalentních tvarech: $t=\sin x,$

\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x} {1-\sin x}}\right|+C\\[15b]\ln \left|\sec x+\operatorname {tg} x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\operatorname { tg} \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operatorname {arsh} \left(\operatorname {tg} x\right)+C=\jméno operátora {oblouk} \left(\sec x\right)+C=\jméno operátora {arth} \left(\sin x\right)+C\\[15pt]\end {pole}}\right\}=\jméno operátora {lam} x+C.

Zde je Lambertian označován jako funkce inverzní ke Gudermannově funkci . Mercatorova projekce koule do roviny je popsána právě touto funkcí, která udává závislost svislé souřadnice y promítacího bodu na zeměpisné šířce x prototypového bodu: y = lam x . $\operatorname {lam} x$

Integrál lze také vzít pomocí univerzální goniometrické substituce , ale v tomto případě bude řešení vypadat poněkud komplikovaněji než výše uvedené.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 V. Frederick Rickey a Philip M. Tuchinsky, „Aplikace geografie na matematiku: Historie integrálu sečny“, Magazín Mathematics , ročník 53, číslo 3, květen 1980, strany 162-166.
↑ Edward Wright , Určité chyby v navigaci, vzniklé buď z běžného chybného vytváření nebo vsingu námořní mapy, kompasu, křížového štábu a deklinačních tabulek Sunny a pevných hvězd detekovaných a opravených , Valentine Simms, Londýn, 1599.
↑ HW Turnbull, editor, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959-1960, svazek 1, strany 13-16 a svazek 2, strany 99-100.
↑ D.T. Whiteside, editor, The Mathematical Papers of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1967, svazek 1, strany 466-467 a 473-475.

Viz také

sekantu

Odkazy

Článek Rickeyho a Tuchinského o historii tohoto integrálu