Gaussův interpolační vzorec

Gaussův interpolační vzorec je vzorec, který používá jako interpolační uzly uzly nejblíže bodu interpolace . Je konstruován pomocí Newtonova interpolačního vzorce . $X$

Nechť je třeba interpolovat nějakou funkci . Jestliže , kde je nějaký počáteční bod, , pak vzorec $F$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ $h>0$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\over(2n)!},

zapsaný uzly se nazývá Gaussův vzorec pro dopřednou interpolaci a vzorec $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ více než 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\over(2n)!},

zapsaný v uzlech se nazývá Gaussův vzorec pro zpětnou interpolaci . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh$

Oba vzorce používají konečné rozdíly definované takto:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

Výhodou Gaussova interpolačního vzorce je to, že tato volba interpolačních uzlů poskytuje nejlepší odhad zbývajícího členu ve srovnání s jakoukoli jinou volbou a uspořádání uzlů, když se přibližují k interpolačnímu bodu, snižuje výpočetní chybu interpolace.

Literatura

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Výpočtové metody. Svazek I. - 2. vyd., stereotypní - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Numerické metody, M., 1973.