Kvantifikátor

Kvantifikátor je obecný název pro logické operace, které omezují rozsah pravdivosti predikátu a vytvářejí výrok . Nejčastěji zmiňované:

Univerzální kvantifikátor (označení:, zní: "pro jakýkoli ...", "pro každý ...", "pro všechny ..." nebo "každý ...", "jakýkoli ...", "všechny .. "). $\pro všechny$
Kvantifikátor existence (označení:, čtěte: „existuje ...“ nebo „existuje ...“). $\existuje$

V matematické logice se přiřazení kvantifikátoru vzorci nazývá vazba nebo kvantifikace .

V mnohohodnotových logikách se zavádějí i další kvantifikátory, například množstevní kvantifikátor (Rescherův kvantifikátor) (označuje se obráceným M , čti „pro většinu...“).

Příklady

Označte predikát " x je dělitelné 9". Pomocí univerzálního kvantifikátoru lze formálně napsat následující tvrzení (samozřejmě nepravdivá): $P(x)$

jakékoli přirozené číslo je násobkem 9;
každé přirozené číslo je násobkem 9;
všechna přirozená čísla jsou násobky 9;

následujícím způsobem:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

Následující (již pravdivá) tvrzení používají existenciální kvantifikátor :

existují přirozená čísla, která jsou násobky 9;
existuje přirozené číslo, které je násobkem 9;
alespoň jedno přirozené číslo je násobkem 9.

Jejich formální zápis je:

(\existuje x\in {\mathbb {N}})P(x)

Úvod do konceptu

Nechť je na množině prvočísel uveden predikát : "Prvočíslo je liché". Před tento predikát nahraďte slovo „jakýkoli“. Dostaneme nepravdivé tvrzení „jakékoli prvočíslo je liché“ (tento výrok je nepravdivý, protože 2 je sudé prvočíslo). $X$ $P(x)$ $X$ $X$

Dosazením slova „existuje“ před tento predikát dostaneme pravdivý výrok „Existuje prvočíslo , které je liché“ (například ). $P(x)$ $X$ $x=3$

Je tedy možné proměnit predikát ve výrok tak, že před predikát umístíte slova („vše“, „existuje“ a další), kterým se v logice říká kvantifikátory.

Kvantifikátory v matematické logice

Příkaz znamená, že rozsah proměnné je zahrnut do pravdivostního rozsahu predikátu . $\forall xP(x)$ $X$ $P(x)$

("Pro všechny hodnoty platí tvrzení"). $X$

Tvrzení znamená, že pravdivostní oblast predikátu není prázdná. $\existuje xP(x)$ $P(x)$

("Existuje, pod kterým tvrzení je pravdivé"). $X$

Volné a vázané proměnné

Množina volných proměnných* vzorce F je definována rekurzivně takto:

Volné proměnné.

Všechny proměnné zahrnuté v atomovém vzorci jsou volné proměnné tohoto vzorce,
volné proměnné vzorce F jsou volné proměnné vzorce ¬F,
proměnné, které jsou volné alespoň pro jeden ze vzorců F nebo G, jsou volné proměnné vzorce (F D G),
všechny volné proměnné vzorce F kromě v jsou volné proměnné vzorce Kv F.

uzavřený vzorec.

Vzorec bez volných proměnných se nazývá uzavřený vzorec nebo věta.

Přidružená proměnná.

Proměnná v je vázána ve vzorci F, pokud F obsahuje výskyt Kv, kde K je kvantifikátor.

Vázané přejmenování, volné přejmenování

Operace s kvantifikátory

Pravidlo negace kvantifikátoru se používá ke konstrukci negací příkazů obsahujících kvantifikátory a má tvar:

$\lne (\forall x)P(x)=(\existuje x)\lne P(x)$
$\lnot (\existuje x)P(x)=(\forall x)\lne P(x)$

Historie vzhledu

Filozofové dlouho věnovali pozornost logickým operacím, které omezují rozsah pravdivosti predikátu, ale nevyčleňovali je jako samostatnou třídu operací. Thomas Hobbes tedy věřil, že jde o části jmen [1] .

Ačkoli kvantifikátorové logické konstrukce jsou široce používány jak ve vědecké, tak v každodenní řeči, k jejich formalizaci došlo až v roce 1879 , ve Fregeově knize „The Calculus of Concepts“. Fregeův zápis vypadal jako těžkopádné grafické konstrukce a nebyl přijat. Následně bylo navrženo mnoho úspěšnějších symbolů, ale zápis pro kvantifikátor existence (obrácené první písmeno angličtiny existuje - existuje), navržený Charlesem Piercem v roce 1885 , a pro obecný kvantifikátor ( německy: Alle $\existuje$ $\pro všechny$ - "všechno", "všichni"), vytvořené Gerhardem Gentzenem v roce 1935 analogií se symbolem existenciálního kvantifikátoru. Termíny „kvantifikátor“, „kvantifikace“ byly také navrženy Peircem.

Poznámky

↑ "Ale slova: jakákoli, jakákoli, některá atd., označující obecný nebo zvláštní význam jiných slov, nejsou jména, ale pouze části jmen." (Thomas Hobbes "Na těle")

Literatura

Kleene S. K. Úvod do metamatematiky, přel. z angličtiny, M., 1957, str. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematická logika. Ed. 3., stereotypní. — M.: KomKniga, 2006. — 240 s.
Novikov PS Základy matematické logiky. — M.: Nauka, 1973. — 400 s.
Church A. Úvod do matematické logiky, přel. z angličtiny, díl 1, M., 1960, str. 42-48.

Odkazy

kvantifikátory

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323